\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra\\
1. és 2.~zárthelyi pótlása, 2004.~12.~15.}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item
Írjuk fel a mátrixát a sík azon lineáris transzformációjának, amely egy
$\ve v$ pontot előbb az origó körül $30^\circ$-kal elforgat, majd 
a kapott pontot tükrözi az $x+y=0$ egyenesre. Határozzuk meg e mátrix
inverzét is.

\item 
Hány dimeziós a magtere és a képtere annak a lineáris leképezésnek, 
amelynek valamely bázisban
\[
\left(\begin{array}{cccc}
 1& 1&1&1\\
-1& 2&1&1\\
 2&-2&3&1
\end{array}\right)
\]
a mátrixa?


\item 
Legyen $V$ valós vektortér és tegyük fel, hogy $\ve b_1$, $\ve b_2$, 
$\ve b_3$ bázisa. Bázist alkotnak-e $V$-ben a $\ve b_1+\ve b_2$, 
$\ve b_2+\ve b_3$, $\ve b_3+\ve b_1$ vektorok?

\item
Számoljuk ki 
\[
\sqrt[4]{1+i}
\]
összes lehetséges értékét.

\item 
Legyen $n$ pozitív egész és legyen $A$ az a $2n\times2n$-es mátrix, amelyre
\setlength{\arraycolsep}{1 pt}
\begin{eqnarray*}
A_{i,i}&=&1,\\
A_{i,n+i}&=&2,\\
A_{n+i,i}&=&2,\\
A_{n+i,n+i}&=&4
\end{eqnarray*}
minden $1\le i\le n$ esetén. Az $A$ mátrix többi eleme 0.
Határozzuk meg $A$ determinánsát, és adjuk meg $A^{-1}$-et, ha létezik.

\end{enumerate}
\end{document}

