\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}
\pagestyle{empty}


\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\Real}{\mathop{\mathrm{Re}}}
\newcommand{\Imag}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra\\
Vizsgazárthelyi, 2005.~01.~04.}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item 
Mely gyökei teljesítik a $\Real z-\Imag z > \frac12$ feltételt a
\[
z^3+2z^2+2z+1
\]
polinomnak? Jelöljük a komplex síkon a gyököket!

\item 
Legyen
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
2&0&-1\\
0&2& 0\\
0&0& 2
\end{array}\right)\text{, és~~~}
B=\left(\begin{array}{ccc}
a& 1& 2\\
0&-1&-1\\
1& 1& 2
\end{array}\right).
\]
Írjuk fel az 
$A^{-1}B\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) = 
\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right)$ egyenletrendszert! Mely $a$ 
értékre oldható meg Cramer-szabállyal? (Nem kell kiszámolni a megoldást.)

\item
Adjuk meg $\R^3$ egy olyan bázisát, amelynek egyik eleme 
$\ve v_1=\frac1{\sqrt3}\cdot(0,1,1)^T$
és amely ortonormált a 
\[
\left(\begin{array}{ccc}
1&0&1\\
0&1&0\\
1&0&2
\end{array}\right)
\]
mátrix által definiált skalárszorzásra.

\item
Számítsuk ki az
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
2&0&-1\\
0&2& 0\\
0&0& 2
\end{array}\right)
\]
mátrix $J$ Jordan-féle normálalakját, és írjuk fel $J^{100}$ mátrixot. 
Hány független sajátvektora van $A$-nak?

\item
Határozzuk meg a szokásos bázisban az $\R^3$-beli $(1,1,1)^T$ irányú
egyenes körül $45^\circ$-kal forgatás mátrixát a standard bázisban. 
Adjuk meg a transzformáció összes valós sajátértékét.

\end{enumerate}

\end{document}

