\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}
\pagestyle{empty}


\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\Real}{\mathop{\mathrm{Re}}}
\newcommand{\Imag}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra\\
Vizsgazárthelyi, 2005.~01.~17.}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item 
Van-e a komplex számok körében többszörös gyöke a 
\[
z^4-4z+3
\]
polinomnak?

\item 
Legyen $W$ az $\R^4$ vektortér
\[
\left(\begin{array}{c}3\\1\\2\\1\end{array}\right)\text{, ~~}
\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\1\\1\end{array}\right)\text{, és ~~}
\left(\begin{array}{c}9\\5\\1\\-1\end{array}\right)
\]
vektorok által generált altere.
\begin{enumerate}
\item Hány dimenziós $W$?
\item Mely $\ve v\in \R^4$ vektorok merőlegesek $W$ összes elemére?
\end{enumerate}

\item
Bizonyítsuk be, hogy egy véges dimenziós vektortéren értelmezett
lineáris transzformáció pontosan akkor szürjektív, ha 0 nem sajátértéke.

\item
Legyen $A=\left(\begin{array}{cc}3&-1\\0&2\end{array}\right)$. Számoljuk ki
$e^A$ mátrix értékét.

\item
Tekintsük az origón átmenő $(1,0,2)^T$ irányú egyenesre való tükrözést.
\begin{enumerate}
\item Mik e transzformáció sajátértékei és sajátvektorai?
\item Írjuk fel a mátrixát sajátvektoraiból álló bázisban.
\item Írjuk fel a mátrixot a standard bázisban.
\item Határozzuk meg a transzformáció Jordan-féle normálalakját,
karakterisztikus és minimálpolinomját.
\end{enumerate}



\end{enumerate}

\end{document}

