\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}
\pagestyle{empty}


\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\Real}{\mathop{\mathrm{Re}}}
\newcommand{\Imag}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra\\
Vizsgazárthelyi, 2005.~01.~25.}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Legyen $A$  egy $n\times n$-es komplex elemű mátrix.
Igaz-e, hogy ha elemi sorműveletekkel (Gauss-elimináció)
felső háromszög alakra hozzuk, akkor
\begin{enumerate}
\item a sorvektorok által generált $\C^n$-beli altér nem változik meg;
\item a mátrix sajátértékei nem változnak meg;
\item a mátrix determinánsa nem változik meg;
\item a független oszlopvektorok maximális száma nem változik meg?
Indokoljuk a válaszokat!
\end{enumerate}

\item
Legyen $A$ egy $n\times n$-es  mátrix, melyre $i=1,\dots,n-1$ esetén  
$a_{i,i+1}=1$, a mátrix többi eleme $0$.
\begin{enumerate}
\item Rajzoljuk fel a mátrixot.
\item Adjuk meg, hogy a mátrix által meghatározott lineáris transzformáció
hova viszi a standard bázis elemeit.
\item Határozzuk meg a mátrix karakterisztikus és minimálpolinomját,
sajátértékeit és sajátvektorait.
\item Adjuk meg $e^{3A}$ mátrixot.
\end{enumerate}






\item 
Legyen $A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\1&1\end{array}\right)$
egy bilineáris függvény mátrixa.
\begin{enumerate}
\item Adjuk meg a hozzá tartozó kvadratikus alakot valamint annak jellegét is.
\item Írjuk fel a kvadratikus alak mátrixát ugyanebben a bázisban.
\item Írjuk fel a kvadratikus alak mátrixát egy olyan bázisban, amely
az eredeti bázisvektorok kétszereseiből áll.
\end{enumerate}

\item 
Legyen $W=\left\{ (x,y,z,u)\in \R^4\,\mid\,\, x+2y-z=0 \right\}$.
\begin{enumerate}
\item Adjunk meg egy olyan lineáris leképezést, amelynek $W$ magtere.
\item Mutassuk meg hogy $W$ altere $\R^4$-nek. Mennyi $W$ dimenziója?
\item Adjunk meg $W$-ben egy bázist.
\item Adjunk meg $W$-ben egy ortonormált bázist.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item 
Írjuk fel azt az 1 főegyütthatós legalacsonyabb fokú valós
együtthatós polinomot, amelynek  $i$ kétszeres, $2$ háromszoros, 
$5$ egyszeres gyöke.
\item 
Adjunk meg egy olyan komplex elemű mátrixot, amelynek ez 
karakterisztikus polinomja.
\item 
Adjunk meg egy olyan valós elemű mátrixot, amelynek ez 
karakterisztikus polinomja.
\item 
Van-e ilyen szimmetrikus mátrix is?
\end{enumerate}


\end{enumerate}
\end{document}
