\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}
\pagestyle{empty}


\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\Real}{\mathop{\mathrm{Re}}}
\newcommand{\Imag}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra\\
Vizsgazárthelyi, 2005.~02.~03.}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item 
A 
\[
z^3-4z^2+6z-4
\]
polinom mely gyökei elégítik ki a 
$2\Imag z\cdot\Real z\ge \left|z\right|^2$ egyenletet?


\item
Legyen $\mathcal A$ a sík lineáris transzformációja, amelynek 
$\left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right)$ vektor a 2
sajátértékhez tartozó sajátvektora, 
$\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$ pedig a 3 sajátértékhez
tartozó sajátvektora. Írjuk fel $\cal A$ mátrixát ezen sajátvektorokból
álló bázisban, majd a standard bázisban is.


\item 
Jelölje $W$ a
\[
\left(\begin{array}{ccc}
4&1&-5\\
-1&1&5\\
7&2&-8
\end{array}\right)
\]
mátrix által meghatározott lineáris leképezés képterét.
Adjunk meg $W$-ben egy ortonormált bázist a térvektorok szokásos
skaláris szorzására nézve.


\item 
Írjuk fel a következő mátrixokhoz tartozó kvadratikus alakokat, 
és határozzuk meg jellegüket.
\[
A=\left(\begin{array}{cc}
1&1\\
0&1
\end{array}\right)\text{, ~~~}
B=\left(\begin{array}{cc}
1&2\\
0&1
\end{array}\right)\text{, ~~~}
C=\left(\begin{array}{cc}
1&3\\
0&1
\end{array}\right).
\]


\item 
Melyek az 
\[
A=\left(\begin{array}{cccc}
1&1&0&0\\
0&1&1&0\\
0&1&1&1\\
0&0&1&1
\end{array}\right)
\]
mátrix sajátértékei? Határozzuk meg $A$ minimálpolinomját.




\end{enumerate}
\end{document}

