\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra\\
1.~zárthelyi, 2004.~10.~27.\\
A csoport}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item 
Legyen 
\[
z=\cos72^\circ+i\sin72^\circ.
\]
Számoljuk ki az
\[
1+z+z^2+z^3+z^4
\]
összeg értékét!

\item 
Bontsuk fel $\R$-ben irreducíbilis polinomok szorzatára az
\[
x^4+2x^2+1
\]
polinomot! Mennyi e polinom komplex gyökeinek összege?

\item Milyen $X$ mátrixszal és melyik oldalról kell megszorozni az
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
1&2&3\\
1&2&3\\
1&2&3
\end{array}\right)
\]
mátrixot, hogy a 
\[
B=\left(\begin{array}{ccc}
2&3&1\\
2&3&1\\
2&3&1
\end{array}\right)
\]
mátrixot kapjuk eredményül?

\item 
Legyen $n$ pozitív egész és legyen $A$ az a $2n\times2n$-es mátrix, amelyre
$A_{i,n+i}=-1$ és $A_{n+i,i}=1$ minden $1\le i\le n$ esetén. Az $A$ mátrix
többi eleme 0.
%Tehát például $n=3$-ra
%\[
%\left(\begin{array}{cccccc}
%0& 0& 0& -1&  0&  0\\
%0& 0& 0&  0& -1&  0\\
%0& 0& 0&  0&  0& -1\\
%1& 0& 0&  0&  0&  0\\
%0& 1& 0&  0&  0&  0\\
%0& 0& 1&  0&  0&  0
%\end{array}\right)
%\]
Számoljuk ki $\det A$-t és adjuk meg $A$ inverzét, ha létezik!

\item 
Hogyan válasszuk meg az $a$ paraméter értékét, hogy a következő 
egyenletrendszernek ne legyen megoldása?
\setlength{\arraycolsep}{1 pt}
\[
\begin{array}{ccccccccc}
3x&+&2y&-&6z&+&9u&=&-17\\
4x&+&3y&-&10z&+&11u&=&-26\\
2ax&-&y&+&4z&-&2u&=&a+9
\end{array}
\]

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra\\
1.~zárthelyi, 2004.~10.~27.\\
B csoport}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Legyen 
\[
z=\cos40^\circ+i\sin40^\circ.
\]
Számoljuk ki az
\[
1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8
\]
összeg értékét!

\item 
Adjuk meg az
\[
x^4+x^2+1
\]
polinom gyöktényezős alakját és ábrázoljuk a gyököket a komplex számsíkon!

\item 
Milyen $X$ mátrixszal és melyik oldalról kell megszorozni az
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
2&2&2\\
3&3&3
\end{array}\right)
\]
mátrixot, hogy a 
\[
B=\left(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
4&4&4\\
3&3&3
\end{array}\right)
\]
mátrixot kapjuk eredményül?

\item 
Legyen $n$ pozitív egész és legyen $A$ az a $2n\times2n$-es mátrix, amelyre
$A_{i,i}=A_{i,n+i}=A_{n+i,n+i}=1$ minden $1\le i\le n$ esetén. Az $A$ mátrix
többi eleme 0.
%Tehát például $n=3$-ra
%\[
%\left(\begin{array}{cccccc}
%1& 0& 0& 1& 0& 0\\
%0& 1& 0& 0& 1& 0\\
%0& 0& 1& 0& 0& 1\\
%0& 0& 0& 1& 0& 0\\
%0& 0& 0& 0& 1& 0\\
%0& 0& 0& 0& 0& 1
%\end{array}\right)
%\]
Számoljuk ki $\det A$-t és adjuk meg $A$ inverzét, ha létezik!

\item 
Hogyan válasszuk meg a $b$ paraméter értékét, hogy a következő 
egyenletrendszernek végtelen sok megoldása legyen?
\setlength{\arraycolsep}{1 pt}
\[
\begin{array}{ccccccc}
-x&+&4y&+&9z&=&2b\\
-x&-&4y&-&7z&=&-10\\
-x&-&2y&-&3z&=&-5\\
2x&+&6y&+&10z&=&15
\end{array}
\]

\end{enumerate}

\end{document}

