\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\lnko}{\mathop{\mathrm{lnko}}}

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra\\
2.~zárthelyi, 2004.~12.~08.\\
A csoport}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item 
Tekintsük a komplex számok halmazát valós számok feletti vektortérnek,
és legyen  $z=a+bi$ egy komplex szám. Mi lesz a $z$-vel való szorzás,
mint lineáris leképezés mátrixa az $\{1,i\}$ bázisban? Milyen $z$ esetén 
ortogonális ez a mátrix?

\item 
Írjuk fel a
\[
3x^2+2xy+y^2
\]
valós kvadratikus alakhoz tartozó bilineáris függvény szimmetrikus mátrixát. 
Mit mondhatunk a kvadratikus alak jellegéről? Keressünk egy ortonormált
bázist az ezen bilineáris függvény által megadott skaláris szorzásra nézve, 
ha létezik.

\item 
Mutassuk meg, hogy a legfeljebb $n-1$-edfokú valós együtthatós 
polinomok terében bázist alkotnak az $1$, $1+x$, $1+x+x^2$, \dots, 
$1+x+x^2+\dots+ x^{n-1}$ polinomok.

\item 
Hozzuk kanonikus alakra az
\[
5x^2+2xy+5y^2-8x-16y+13=0
\]
másodfokú görbe egyenletét, ábrázoljuk a görbét, és tüntessük fel az 
ábrán az új koordinátarendszer tengelyeit is.

\item 
Legyen $\varphi$ bilineáris függvény az $\R^3$ vektortéren
és $\ve v, \ve w, \ve u$ vektorok. Igaz-e, hogy 
$\varphi(\ve v,\ve w)=\varphi(\ve v,\ve u)$ esetén biztosan 
teljesül $\ve w=\ve u$?

\end{enumerate}

\newpage




\begin{center}
{\Large \bf Lineáris algebra\\
2.~zárthelyi, 2004.~12.~08.\\
B csoport}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item 
Tekintsük a komplex számok halmazát valós számok feletti vektortérnek,
és legyen  $z=a-bi$ egy komplex szám. Mi lesz a $z$-vel való szorzás,
mint lineáris leképezés mátrixa az $\{1,i\}$ bázisban? Milyen $z$ esetén 
szimmetrikus ez a mátrix?

\item 
Írjuk fel az
\[
x^2-2xy+2y^2
\]
valós kvadratikus alakhoz tartozó bilineáris függvény szimmetrikus mátrixát. 
Mit mondhatunk a kvadratikus alak jellegéről? Keressünk egy ortonormált
bázist az ezen bilineáris függvény által megadott skaláris szorzásra nézve, 
ha létezik.

\item 
Mutassuk meg, hogy a legfeljebb $n-1$-edfokú valós együtthatós 
polinomok terében bázist alkotnak az $x^{n-1}$, $x^{n-1}+x^{n-2}$, 
$x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}$, \dots, $x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+\dots+ x+1$ 
polinomok.

\item 
Hozzuk kanonikus alakra a
\[
-x^2-10xy-y^2+16x+8y-11=0
\]
másodfokú görbe egyenletét, ábrázoljuk a görbét, és tüntessük fel az 
ábrán az új koordinátarendszer tengelyeit is.

\item 
Legyenek $\ve v, \ve w, \ve u$ vektorok az $\R^3$ vektortérben. 
Igaz-e, hogy $\ve v\times\ve w=\ve v\times\ve u$ esetén biztosan 
teljesül $\ve w=\ve u$?

\end{enumerate}

\end{document}

