\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}

\theoremstyle{definition}\newtheorem{definicio}{Def}

\newcommand{\eqk}{\overset{?}{=}}
\newcommand{\ord}[1]{\mathop{\mathrm{o\left(#1\right)}}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számítástudomány alapjai 2003/2004 tavasz\\
13. gyakorlat: Csoportok}
\end{center}

\noindent $(G,*)$ \emph{csoport}, ha $G$ egy halmaz, $*$ egy művelet, és 
teljesülnek a következők.
\begin{itemize}
\item Minden $a,b\in G$-re $a*b\in G$. ({\bf zárt $G$ a műveletre})
\item Minden $a,b,c\in G$-re $a*(b*c)=(a*b)*c$. ({\bf asszociatív a művelet})
\item Létezik $e\in G$, hogy minden $a\in G$-re $a*e=e*a=a$. ({\bf 
van egységelem})
\item Minden $a\in G$-hez van $b\in G$, amelyre $a*b=b*a=e$. ({\bf
létezik inverz})
\end{itemize}
Ha minden $a,b\in G$-re $a*b=b*a$, akkor \emph{kommutatív} a $(G,*)$ 
\emph{csoport}.

\noindent Például $(\R\setminus\{0\},\cdot)$ kommutatív csoport, de 
$(\Z\setminus\{0\},\cdot)$ nem csoport.


\begin{enumerate}

\item Legyen $G:=\Z_5^*=\{1,2,3,4\}$ és $a,b\in G$ esetén
$a*b:=ab \bmod 5$. Mutassuk meg, hogy $(G,*)$ csoport, azaz rendelkezik 
a fenti tulajdonságokkal.

\item Bizonyítsuk be, hogy ha $(G,*)$ csoport, akkor csak egy egységeleme van, 
azaz ha $e_1,e_2\in G$-re is teljesül $e*a=a*e=a$ tetszőleges $a\in G$ 
választás mellett, akkor $e_1=e_2$.

\item Bizonyítsuk be, hogy egy csoportban minden $a\in G$-hez pontosan egy 
inverz található.

\vskip 5mm\hskip -9mm Jelölje 
$a^k$ az $\underset{k\text{ db}}{\underbrace{a*a*\dots*a}}$ elemet. Az $a$ 
inverze $a^{-1}$ és $a^{-k}:=\left(a^{-1}\right)^k$.

\item Melyek igazak egy csoportban a valós számokra ismert hatványazonosságok
közül? ($a^k*a^\ell\eqk a^{k+\ell}$, $\left(a^k\right)^\ell\eqk a^{k\ell}$, 
$(a*b)^k\eqk a^k*b^k$, ahol $k,\ell\in\Z$)

\item Mutassuk meg, hogy $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$.

\item Tegyük fel, hogy egy $(G,*)$ csoportban minden $a\in G$-re $a^2=e$.
Igazoljuk, hogy $G$ kommutatív.

\item\label{matrix1} Legyen 
$G=\left\{\left(\begin{array}{ll}1&z\\0&1\end{array}\right)\,:
\,\,z\in\Z\right\}$ 
és $A$, $B$ mátrixokra $A*B$ legyen a szokásos mátrixszorzat. 
Bizonyítsuk, hogy $(G,*)$ kommutatív csoport.

\item Legyen $G=\left\{\left(\begin{array}{ll}a&b\\0&1\end{array}\right)\,:
\,\,a,b\in\R,a\neq0\right\}$
és a $*$ művelet megint a mátrixszorzás. 
Lássuk be, hogy $(G,*)$ nem kommutatív csoport.

\item Bizonyítsuk, hogy tetszőleges $m\ge2$ egészre a 
$G:=\Z_m^*=\{a\in\Z\,:\,\,(a,m)=1\text{, és }1\le a<m\}$ halmaz
csoportot alkot az $a*b:=ab\bmod m$ művelettel. Mennyi $G$ elemszáma?

\item Igazoljuk, hogy a $G=\{g,g^2,g^3,\dots,g^{18}\}$ halmaz csoport, 
amennyiben $g^{19}=g$.

\vskip 5mm\hskip -9mm Ha $G$ csoportban van olyan $g$ elem, amelyre 
$G=\{g,g^2,g^3,\dots,g^n\}$, akkor $G$ \emph{véges ciklikus csoport}.

\hskip -9mm Ha valamely $g\in G$-re $G=\{\dots,g^{-2},g^{-1},e,g,g^2,\dots\}$
és $\left|G\right|=\infty$, akkor $G$ \emph{végtelen ciklikus csoport}.

\hskip -9mm $a\in G$ \emph{rend}je a legkisebb pozitív $k$, amelyre $a^k=e$, 
vagy $\infty$, ha nincs ilyen. Jel: $\ord a=k$.

\hskip -9mm Lagrange tétele miatt $\ord a$ osztója $\left|G\right|$-nek, 
azaz a \emph{csoport rendjé}nek.

\item Mutassuk meg, hogy minden $a\in G$-re $a^{\left|G\right|}=e$, és hogy 
amennyiben $a^\ell=e$, akkor $\ord a$ osztja $\ell$-et.

\item Bizonyítsuk be, hogy $G$ akkor és csak akkor ciklikus, ha van 
olyan eleme, amelynek rendje $\left|G\right|$.

\item Tegyük fel, hogy $\left|G\right|=81$, és van $G$-nek olyan eleme,
amely 27.~hatványa nem az egységelem. Mutassuk meg, hogy $G$ ciklikus.

\item Igazoljuk, hogy minden prímrendű csoport ciklikus.

\item Határozzuk meg az összes olyan csoportot, amelyben nincs prímrendű elem.

\item Ciklikusak-e a $\Z_9^*$ és a $\Z_{15}^*$ csoportok? Számoljuk ki 
mindkét csoportban minden elem rendjét.

\item Mennyi egy ciklikus csoportban az összes elem szorzata? És tetszőleges
kommutatív csoportban?

\vskip 5mm\hskip -9mm Legyen $(G,*)$ csoport. Ha $H\subseteq G$ és $(H,*)$ 
csoport, akkor \emph{$H$ részcsoport}ja $G$-nek.

\item Mutassuk meg, hogy egy végtelen ciklikus csoportnak végtelen sok
részcsoportja van.

\item Lássuk be, hogy egy ciklikus csoportnak minden részcsoportja is ciklikus.

\item Bizonyítsuk be, hogy $G$ pontosan akkor véges csoport, ha véges sok 
részcsoportja van.

\vskip 5mm\hskip -9mm Legyen $(G_1,*_1)$, $(G_2,*_2)$ csoportok és 
$\varphi\colon G_1\to G_2$ leképezés. Azt mondjuk, hogy $\varphi$ 
\emph{homomorfizmus}, ha
\[
\varphi(a*_1b)=\varphi(a)*_2\varphi(b)
\]
\hskip -9mm $\varphi$ \emph{injektív}, ha $\varphi(a)=\varphi(b)$ esetén 
$a=b$ és \emph{szürjektív}, ha minden $c\in G_2$-höz van $a\in G_1$, hogy 
$\varphi(a)=c$.

\hskip -9mm Ha $\varphi$ injektív és szürjektív, akkor \emph{izomorfimus}. 
Ilyenkor a $(G_1,*_1)$ és $(G_2,*_2)$ csoportok \emph{izomorf}ak.

\item $G\to G$ homomorfizmus-e a $\varphi(a)=a^{-1}$ hozzárendelés egy 
$G$ csoportban?

\item Legyen $g\in G$ rögzített. Mutassuk meg, hogy $\varphi(a)=g^{-1}ag$
homomorfizmus, sőt izomorfizmus.

\item Bizonyítsuk be, hogy amennyiben $\varphi\colon G_1\to G_2$ homomorfizmus,
$e_1$ a $G_1$ és $e_2$ a $G_2$ egységeleme, úgy $\varphi(e_1)=e_2$ és
tetszőleges $a\in G_1$-re $\varphi(a^{-1})=\left(\varphi(a)\right)^{-1}$.

\item Igazoljuk, hogy amennyiben $G$ végtelen ciklikus csoport, akkor
$(G,*)$ izomorf a $(\Z,+)$ csoporttal. Ha $n$ pozitív egész, akkor
legyen $\Z_n:=\{a\in\Z\,:\,\,0\le a<n\}$ és $a*_nb:=a+b\bmod n$. Igazoljuk,
hogy amennyiben $G$ $n$-edrendű ciklikus csoport, akkor izomorf a 
$(\Z_n,*_n)$ csoporttal.

\item Bizonyítsuk be, hogy ha $G$ izomorf egy kommutatív csoporttal, akkor
$G$ is kommutatív.

\item Igazoljuk, hogy a \ref{matrix1}.~feladatban szereplő $G$ csoport
izomorf $(\Z,+)$ csoporttal.

\vskip 5mm\hskip -9mm Egy $N\subseteq G$ részcsoport \emph{normális 
részcsoport} %vagy \emph{normálosztó} 
$G$-ben, ha minden $g\in G$ és $a\in N$ esetén $g^{-1}ag\in N$.

\item Legyen $\varphi: G_1 \to G_2$ csoportok közötti homomorfizmus, $e_2$ 
a $G_2$ egységeleme és legyen $N=\{a\in G_1\,:\,\,\varphi(a)=e_2\}$.
Mutassuk meg, hogy $N$ normális részcsoport $G_1$-ben!

\item Hány normális részcsoportja van a 15 rendű ciklikus csoportnak?

\end{enumerate}

\end{document}
