\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 2004/2005 ősz\\
2. gyakorlat: Oszthatóság, prímek}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Mely pozitív egész $n$ számokra prímszám
\begin{enumerate}
\item $n^3-n+3$,
\item $n^3-27$,
%\item $n$, $n+2$ és $n+4$ egyszerre
\item $n^8+n^7+n^6+n^5+n^4+n^3+n^2+n+1$?
\end{enumerate}

\item Legyenek $a$ és $k$ egynél nagyobb egészek. Igazoljuk, hogy
\begin{enumerate}
\item ha $a^k-1$ prím, akkor $a=2$ és $k$ prím;
\item ha $a^k+1$ prím, akkor $k$ kettőhatvány.
\end{enumerate}
A $2^p-1$ alakú prímek a Mersenne-prímek, a $2^{2^n}+1$ alakúak pedig
a Fermat-prímek.

\item Tekintsük a páros számok körét! Mik a felbonthatatlanok és mik a 
prímek ebben a számkörben? Mely elemek írhatóak fel lényegében egyértelműen 
felbonthatatlan számok szorzataként?

\item Milyen $n$-ekre páratlan $n$ osztóinak száma (azaz $d(n)$)?

\item \hf Igazoljuk, hogy minden szám egyértelműen felírható 
egy négyzetszám és egy négyzetmentes szám szorzataként, azaz
minden $n$-hez létezik egyetlen $m$ és $k$ egész, amelyekre
$n=m^2k$ és $k$ semmilyen 1-nél nagyobb négyzetszámmal nem osztható.

\item Legyen $(a,b)=5$. Milyen értékeket vehet fel $(a+b,a-b)$ és 
milyeneket $(a+2b,4a-b)$?

\item \hf Melyek igazak az alábbi állítások közül?
\begin{enumerate}
\item $(a,b)=(a+b,ab)$
\item $(a,b)=1$ $\iff$ $(a+b,ab)=1$
\item $(a,bc)= (a,b) (a,c)$
\item $(a^3,b^3)= (a,b)^3$
\end{enumerate}

\item Bizonyítsuk be, hogy ha veszünk 501 darab 1 és 1000 közötti egész 
számot,  akkor van közöttük olyan szám, ami osztható a választottak közül 
egy másikkal. Igaz-e ugyanez 500-ra is? 


\end{enumerate}
\end{document}
 