\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 2004/2005 ősz\\
9. gyakorlat: Vegyes}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item \hf 
Keressük meg az 
\[
x^8+x^4+x^2+2\equiv0\pod{250}
\]
kongruencia összes megoldását! (Indokoljuk pontosan, hogy miért nincs több.)

\item
Bizonyítsuk be, hogy 
\[
\left(\left(\frac{p-1}2\right)\text{\LARGE !}\right)^2\equiv(-1)^{\frac{p+1}2}\pod p,
\]
ha $p$ páratlan prím.

\item \hf
Legyen $p\ge3$ prím, $\{a_1,a_2,\dots,a_p\}$ és $\{b_1,b_2,\dots,b_p\}$ teljes 
maradékrendszerek modulo $p$. Igazoljuk, hogy $\{a_1b_1,a_2b_2,\dots,a_pb_p\}$ 
nem lehet teljes maradékrendszer. (Útmutatás: Használjuk a Wilson-tételt.)

\item \hf
Legyen $F_n=2^{2^n}+1$ az $n$-edik Fermat-szám. Bizonyítsuk be, hogy
$n\ge2$ esetén $F_n$ pontosan akkor prím, ha 
\[
5^{\frac{F_n-1}2}\equiv-1 \pod{F_n}.
\]
(Útmutatás: Alkalmazzuk a Pepin-teszt gondolatmenetét.)

\end{enumerate}
\end{document}
