\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 2004/2005 ősz\\
10. gyakorlat: Dirichlet-tétel, aszimptotikus egyenlőség}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item \hf 
Igazoljuk (a Dirichlet-tétel felhasználása nélkül), hogy végtelen sok 
$6k+5$ alakú prím van.

\item \hf
Hány olyan prímszám van, amely kettes számrendszerbeli alakja $111$-re 
végződik?


\item \hf
Legyen $u_n$ és $v_n$ pozitív számokból álló két sorozat. Azt mondjuk, hogy
\emph{$u_n$ aszimptotikusan egyenlő $v_n$-nel}, azaz $u_n\sim v_n$, ha 
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=1$. 
\begin{enumerate}
\item Mutassuk meg, hogy $\sim$ ekvivalenciareláció 
(reflexív, szimmetrikus, tranzitív).
\item Legyen $c$ pozitív szám. Mely $u_n$ sorozatokra teljesül
$u_n\sim c$? Bizonyítsuk be, hogy $\lim\limits_{n\to\infty}u_n=\infty$
esetén $u_n\sim u_n+c$.
\item Ha $p_n$ az $n$-edik prímet jelöli, igazoljuk, hogy 
$p_n \sim n\log(n\log n)$. (Használjuk fel az előadáson tanult
$p_n\sim n\log n$ összefüggést!)
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
