\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 2004/2005 ősz\\
11. gyakorlat: Diofantikus egyenletek, Gauss-egészek}
\end{center}

\begin{enumerate}


\item
Oldjuk meg az egész számok körében az alábbi egyenleteket!
\begin{enumerate}
\item $3x+4y+5z=1$
\item \hfa $6x+20y+9z=2$
\end{enumerate}

\item 
Melyek azok a Gauss-egészek amelyek oszthatók $1+i$-vel?

\item 
Számoljuk ki a $(13,5+i)$ legnagyobb közös osztót!

\item \hf 
Adjuk meg $136-17i$ felbontását Gauss-prímek szorzatára!

\item 
Hányféleképpen írható fel két négyzetszám összegeként a $65$?
És két négyzetszám különbségeként?

\item \hf 
Keressük meg az $x^2+y^2=1773593$ diofantikus egyenlet összes 
megoldását! (segítség: $1773593=17^3\cdot19^2$)

\item 
Bizonyítsuk be, hogy $a$ egész szám pontosan akkor osztója $b$ 
egésznek, ha a Gauss-egészek körében osztja $a$ $b$-t. Igazoljuk,
hogy $a$ és $b$ legnagyobb közös osztója az egészek körében egyben 
(egyik) legnagyobb közös osztója a Gauss-egészek körében is.

\end{enumerate}
\end{document}
