\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 2004/2005 ősz\\
13. gyakorlat: Számelméleti függvények}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item 
Legyen $f$ multiplikatív számelméleti függvény. Bizonyítsuk be, hogy minden 
pozitív egész $a$, $b$-re
\[
f(a)\cdot f(b)=f((a,b))\cdot f([a,b]),
\]
ahol $(a,b)$ a legnagyobb közös osztója, $[a,b]$ a legkisebb közös többszöröse
$a$ és $b$ számoknak.

\vskip 1cm

Jelölje $\sigma(n)$ az $n$ egész osztóinak összegét.

\item
Igazoljuk, hogy ha $2^{p}-1$ (Mersenne-)prím, akkor $n=2^{p-1}(2^p-1)$
tökéletes szám, azaz
\[
\sigma(n)=2n.
\]

\item Számoljuk ki a 
\[
\sum_{d\mid n}\mu(d)\sigma\left(\frac nd\right)
\]
összeget.

\item 
Adjuk meg $g(n)$ megfordítási függvényét, ha
\begin{enumerate}
\item $g(n)=c$ valamely $c\in\C$ számra;
\item $g(n)=\frac{(-1)^n+1}2$;
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Bizonyítsuk be, hogy az $n$-edik komplex primitív egységgyökök összege 
$\mu(n)$. (Útmutatás: Legyen a primitív $n$-edik egységgyökök összege $S(n)$,
az összes $n$-edik egységgyök összege pedig $T(n)$. Használjuk a 
Möbius-inverziós formulát erre a két függvényre!)
\item Igazoljuk, hogy a modulo $p$ primitív gyökök összege éppen
$\mu(p-1)$-gyel kongruens modulo $p$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
