\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 2004/2005\\
Bónusz házi feladatok (csak javításra)
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Tegyük fel, hogy $\varphi(m)=2^n$ valamely $n$ pozitív egészre és az alábbi feltételek közül legalább az egyik teljesül $m$-re:
\begin{enumerate}
\item[(i)]   $8\mid m$;
\item[(ii)]  van két különböző páratlan prím $m$ osztói között;
\item[(iii)] $4\mid m$ és van $m$-nek páratlan prímosztója.
\end{enumerate}
Bizonyítsuk be, hogy ekkor az 
\[
x^{2^{n-1}}-1
\]
polinomnak $2^n$ gyöke van modulo $m$.

\item
Bizonyítsuk be, hogy ha $p,q\ge3$ különböző prímek, $\{a_1,a_2,\dots,a_{\varphi(pq)}\}$
redukált maradékrendszer modulo $pq$, akkor
\[
\prod_{i=1}^{\varphi(pq)}a_i\equiv1\pod{pq}.
\]
(Erre két lényegesen különböző megoldást is tudok, aki mindkettőt beadja
dupla pontot kap.)

\item
Legyen $p\ge3$ prím, $a$, $b$, $c$ egész számok, $(a,p)=1$. Adjunk 
szükséges és elégséges feltételt az
\[
ax^2+bx+c\equiv0\pod{p}
\]
másodfokú kongruencia megoldhatóságára.

\item
Határozzuk meg ($a$ paraméter függvényében), hogy modulo $m$ hány megoldása 
van az $x^2\equiv a\pod m$ kongruenciának, ha $(a,m)=1$.

\end{enumerate}

{\small
\noindent
Minden feladat helyes megoldása 2 pontot ér.
}

\end{document}

