\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ind}{\mathop{\mathrm{ind}}}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet PZH\\}
{\bf 2004 december 17.}
\end{center}

\vskip 1.5cm

\begin{enumerate}

\item 
Oldjuk meg a 
\begin{eqnarray*}
21x\equiv1\pod{34}\\
7x\equiv2\pod{19}
\end{eqnarray*}
szimultán kongruenciarendszert.

\item
Keressük meg az 
\[
x^5-23\equiv0\pod{27}
\]
összes megoldását a Hensel-felemelés módszerével.

\item
Igazoljuk, hogy 2 primitív gyök modulo 27, és számoljuk ki 
$\ind_2 23$ értékét! Oldjuk meg ezek segítségével az 
$x^5\equiv23\pod{27}$ kongruenciát!

\item
Megoldható-e az
\[
x^2\equiv4806\pod{1601}
\]
kongruencia?

\item
Bizonyítsuk be, hogy ha $m\ge2$ összetett számra $\varphi(m)\mid m$,
akkor $m$ páros és $m$ prímosztói csak 2 és 3 lehetnek.

\item
Mutassuk meg, hogy tetszőleges $a$, $b$, $c$ egészekre 
$9\mid a^{30}+b^{30}+c^{30}$ esetén teljesül 
$9^{15}\mid a^{30}+b^{30}+c^{30}$ is.

\item
Legyen $m\ge3$, és tegyük fel, hogy valamely $k$ pozitív egész számra 
$a^k\equiv-1\pod m$. Bizonyítsuk be, hogy $o_m(a)$ páros.

\end{enumerate}

\vskip 1.5cm

{\small
\noindent
Munkaidő 100 perc.\\
%A feladatok nem feltétlenül nehézségi sorrendben vannak.\\ 
Minden feladat hibátlan megoldása 10 pontot ér.
A válaszokat indokolni kell!\\
Osztályozás: 0-29: 1, 30-37: 2, 38-45: 3, 46-52: 4, 53-70: 5.
}
\end{document}
