\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet ZH\\}
{\bf 2004 november 25.}
\end{center}

\vskip 1.5cm

\begin{enumerate}

\item 
Számoljuk ki a $132\,239$ és a $11\,819$ számok legnagyobb közös osztóját és 
adjuk meg a $132\,239x+11\,819y=(132\,239,11\,819)$ diofantikus egyenlet egy 
megoldását!

\item
Melyik az a legkisebb pozitív $a$, amelyre 
\[
a\equiv11^{11^{11}}\pod{24}
\]
teljesül?

\item Keressük meg az 
\[
x^{11}+x+1\equiv0\pod{121}
\]
kongruencia összes megoldását!

\item
Mennyi $11$ rendje modulo $63$?

\item
Legyen $m$ páros, $\{a_1,a_2,\dots,a_m\}$ és $\{b_1,b_2,\dots,b_m\}$ teljes 
maradékrendszerek modulo $m$. Igazoljuk, hogy 
$\{a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_m+b_m\}$ nem lehet teljes maradékrendszer.

\item
Legyen $n\ge0$ és $F_n=2^{2^n}+1$ az $n$-edik Fermat-szám. Bizonyítsuk be, 
hogy amennyiben $F_n$ prím, akkor $15$ nem lehet primitív gyök modulo $F_n$.

\item
Bizonyítsuk be, hogy ha $p\ge3$ prím, $\{a_1,a_2,\dots,a_{\varphi(2p)}\}$
redukált maradékrendszer modulo $2p$, akkor
\[
\prod_{i=1}^{\varphi(2p)}a_i\equiv-1\pod{2p}.
\]

\end{enumerate}

\vskip 1.5cm

{\small
\noindent
Munkaidő 100 perc.\\
%A feladatok nem feltétlenül nehézségi sorrendben vannak.\\ 
Minden feladat hibátlan megoldása 10 pontot ér.
A válaszokat indokolni kell!\\
Osztályozás: 0-29: 1, 30-37: 2, 38-45: 3, 46-52: 4, 53-70: 5.
}
\end{document}
