\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 2005/2006 ősz\\
1. gyakorlat: Fibonacci-számok, egészrész függvény}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Jelölje az $n$-edik Fibonacci-számot $F_n$, tehát $F_0=0$, $F_1=1$ 
és $n\ge2$-re $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$. Igazoljuk az alábbi összefüggéseket:
\begin{enumerate}
\item $\sum_{i=1}^nF_i=F_{n+2}-1$
\item $\sum_{i=1}^nF_{2i-1}=F_{2n}$
\item \hfa $\sum_{i=1}^nF_i^2=F_nF_{n+1}$
\end{enumerate}

\item
Bizonyítsuk be, hogy minden $n$ természetes számra 
$(1+\sqrt2)^{2n}+(1-\sqrt2)^{2n}$ páros szám, míg
$(1+\sqrt2)^{2n}-(1-\sqrt2)^{2n}$ egy természetes szám  
$\sqrt2$-szerese.

\item 
Van-e, olyan hárommal osztható Fibonacci-szám, amelyre a kettővel 
rákövetkező is osztható 3-mal?

\item
Bizonyítsuk be teljes indukcióval, hogy
\[
F_n=\frac1{\sqrt5}\left(\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n-
\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n\right)
\]

\item\hf
Mutassuk meg, hogy a Fibonacci-sorozat egy mértani sorozat 
sebességével nő, pontosabban van olyan pozitív $\tau$ szám, hogy minden
$n\ge2$ esetén 
$\tau^{n-2}\le F_n<\tau^{n-1}$.

\item
Mutassuk meg, hogy az 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,\dots sorozat
$n$-edik eleme $\lfloor\sqrt{2n}+\frac{1}{2}\rfloor$.

\item\hf
  Legyen $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ az a függvény,
  melyre igaz, hogy a zongora $n$-edik fehér billentyűje az
  $f(n)$-edik billentyű (adjuk a $0$ sorszámot az egyik C
  billentyűnek, azaz $f(0)=0$, $f(1)=2$, $f(2)=4$, $f(3)=5$,\dots,
  $f(7)=12$, $f(8)=14$,\dots). Adjunk meg egy ilyen $f$ függvényt az
  egészrész függvény segítségével.
%%Van-e olyan $a_n$ számtani sorozat, melyre
%%$f(n)=\lfloor a_n\rfloor$, ha igen, adjunk meg egy ilyet!

\begin{center}\tiny
\setlength{\unitlength}{1399sp}%
\begin{picture}(10524,3012)(289,-2461)
\thinlines
\put(301,539){\line( 0,-1){2400}}
\put(301,-1861){\line( 1, 0){750}}
\put(1051,-1861){\line( 0, 1){1200}}
\put(1051,-1861){\line( 1, 0){750}}
\put(1801,-1861){\line( 0, 1){1200}}
\put(1801,-1861){\line( 1, 0){750}}
\put(2551,-1861){\line( 0, 1){2400}}
\put(2551,-1861){\line( 1, 0){750}}
\put(3301,-1861){\line( 0, 1){1200}}
\put(3301,-1861){\line( 1, 0){750}}
\put(4051,-1861){\line( 0, 1){1200}}
\put(4051,-1861){\line( 1, 0){750}}
\put(4801,-1861){\line( 0, 1){1200}}
\put(4801,-1861){\line( 1, 0){750}}
\put(5551,539){\line( 0,-1){2400}}
\put(5551,-1861){\line( 1, 0){750}}
\put(6301,-1861){\line( 0, 1){1200}}
\put(6301,-1861){\line( 1, 0){750}}
\put(7051,-1861){\line( 0, 1){1200}}
\put(7051,-1861){\line( 1, 0){750}}
\put(7801,-1861){\line( 0, 1){2400}}
\put(7801,-1861){\line( 1, 0){750}}
\put(8551,-1861){\line( 0, 1){1200}}
\put(8551,-1861){\line( 1, 0){750}}
\put(9301,-1861){\line( 0, 1){1200}}
\put(9301,-1861){\line( 1, 0){750}}
\put(10051,-1861){\line( 0, 1){1200}}
\put(10051,-1861){\line( 1, 0){750}}
\put(10801,-1861){\line( 0, 1){2400}}
\thicklines
\put(3676,-661){\framebox(750,1200){}}
\put(2776,-661){\framebox(750,1200){}}
\put(4576,-661){\framebox(750,1200){}}
\put(8926,-661){\framebox(750,1200){}}
\put(6751,-661){\framebox(750,1200){}}
\put(5851,-661){\framebox(750,1200){}}
\put(8026,-661){\framebox(750,1200){}}
\put(9826,-661){\framebox(750,1200){}}
\put(601,-661){\framebox(750,1200){}}
\put(1501,-661){\framebox(750,1200){}}
\put(601,-1561){\makebox(0,0)[lb]{0}}
\put(1351,-1561){\makebox(0,0)[lb]{2}}
\put(2101,-1561){\makebox(0,0)[lb]{4}}
\put(2851,-1561){\makebox(0,0)[lb]{5}}
\put(3601,-1561){\makebox(0,0)[lb]{7}}
\put(4351,-1561){\makebox(0,0)[lb]{9}}
\put(5101,-1561){\makebox(0,0)[lb]{11}}
\put(5851,-1561){\makebox(0,0)[lb]{12}}
\put(6601,-1561){\makebox(0,0)[lb]{14}}
\put(7351,-1561){\makebox(0,0)[lb]{16}}
\put(8101,-1561){\makebox(0,0)[lb]{17}}
\put(8851,-1561){\makebox(0,0)[lb]{19}}
\put(9601,-1561){\makebox(0,0)[lb]{21}}
\put(10351,-1561){\makebox(0,0)[lb]{23}}
\put(601,-2461){\makebox(0,0)[lb]{0}}
\put(1351,-2461){\makebox(0,0)[lb]{1}}
\put(2101,-2461){\makebox(0,0)[lb]{2}}
\put(2851,-2461){\makebox(0,0)[lb]{3}}
\put(3601,-2461){\makebox(0,0)[lb]{4}}
\put(4351,-2461){\makebox(0,0)[lb]{5}}
\put(5101,-2461){\makebox(0,0)[lb]{6}}
\put(5851,-2461){\makebox(0,0)[lb]{7}}
\put(6601,-2461){\makebox(0,0)[lb]{8}}
\put(7351,-2461){\makebox(0,0)[lb]{9}}
\put(8101,-2461){\makebox(0,0)[lb]{10}}
\put(8851,-2461){\makebox(0,0)[lb]{11}}
\put(9601,-2461){\makebox(0,0)[lb]{12}}
\put(10351,-2461){\makebox(0,0)[lb]{13}}
\end{picture}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{document}
