\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 2005/2006 ősz\\
5. gyakorlat: Egészek kanonikus alakja
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Hány 0-ra végződik $1516!$ a tizes számrendszerben?

\item\hf
Osztható-e $98$-cal $\binom{98}{48}$?


\item Egy természetes szám \emph{négyzetmentes}, ha nincs 1-től különböző 
négyzetszám az osztói között. Legyen $n$ négyzetmentes osztóinak száma
$A(n)$, a négyzetszám osztók száma $B(n)$, az összes osztók száma pedig $d(n)$.
Igazoljuk, hogy $A(n)B(n)\ge d(n)$. Mikor áll fenn egyenlőség?

\item \hf
Egy kegyetlen várúr börtönének 400 szűk cellájában egy-egy rab sínylődik. 
A cellák ajtaján levő zár úgy működik, hogy egy elfordítás esetén nyílik,
még egy elfordítás esetén ismét bezárul, stb. Jelenleg minden ajtó zárva van.
A várúr a születésnapján elhatározza, hogy nagylelkű lesz, és megparancsolja 
az egyik őrnek, hogy fordítson egyet valamennyi záron. Közben azonban 
meggondolja magát és utánaküld egy másik őrt, akit azzal bíz meg, hogy minden 
második záron fordítson egyet. Ezt követi a harmadik őr, aki minden harmadik 
záron változtat stb. Végül a négyszázadik őr a négyszázadik cella zárjának 
az állását módosítja. Azok a rabok szabadulnak ki, akiknek most nyitva áll
az ajtaja. Hány rabot bocsátott szabadon a várúr?

\item \hf Melyik az a legkisebb pozitív egész, amelynek pontosan
\begin{enumerate}
\item 31
\item 33
\item 32
\end{enumerate}
pozitív osztója van?

\item A $10^n$ osztói közül maximum hányat lehet kiválasztani úgy, hogy 
ezek közül semelyik se legyen osztója semelyik másik kiválasztottnak?

\item Mely pozitív egész $n$ számok rendelkeznek a
\[
\forall\,k\in\N^+\,\colon\,n\mid k^2\Rightarrow n\mid k
\]
tulajdonsággal?

\end{enumerate}
\end{document}
