\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 2005/2006 ősz\\
7. gyakorlat: Kongruenciarendszerek és polinomkongruenciák
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Oldjuk meg a következő kongruenciarendszereket:
\begin{enumerate}
\item $3x \equiv 4 \pod {11}$, $11x \equiv 3 \pod {15}$;
\item $3x \equiv 4 \pod {16}$, $11x \equiv 3 \pod {14}$.
\end{enumerate}

\item \hf Egy 40 fős osztály tornaórán jelen levő tagjai akár kettesével, 
akár hármasával, akár ötösével állnak sorba, mindig egyvalaki lesz, 
aki egyedül marad. Hányan vannak ott az órán?

\item Mi a következő polinomkongruenciák megoldása?
\begin{enumerate}
\item $2x^{20}+3x+4\equiv 0 \pod{176}$;
\item \hfa $2x^{91}+5x+1\equiv 0 \pod{297}$.
\end{enumerate}


\item Keressük meg az összes megoldását az $x^{20}+3x+4\equiv 0 \pod{176}$
kongruenciának.

\item Legyen $p$ prím és jelölje az $f(x)\equiv0\pod p$ kongruencia
(modulo $p$ páronként különböző) megoldásainak számát $r$. Lássuk be, hogy
\[
r\equiv-\sum_{a=1}^pf(a)^{p-1}\pod p.
\]

\item
\begin{enumerate} 
\item \hfa Mutassunk példát olyan 1 főegyütthatós, egész együtthatós $f$
polinomra, aminek $f$ fokszámánál több gyöke van modulo 15.
\item Lássuk be (az előbbi $f$ segítségével), hogy $\Z_{15}[x]$ 
polinomgyűrűben nem egyértelmű minden polinom irreducíbilis polinomokra 
bontása.
\end{enumerate}


\end{enumerate}
\end{document}
