\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 2005/2006 ősz\\
9. gyakorlat: Rend
}
\end{center}
\begin{enumerate}

\item 
Számoljuk ki az alábbi rendeket!
\begin{enumerate}
\item $o_{21}(23)$
\item \hfa $o_{89}(86)$
\end{enumerate}

\item
Ebben a feladatban megmutatjuk, hogy ha $a$ és $b$ rendje relatív 
prím, akkor $o(ab)=o(a)o(b)$.
\begin{enumerate}
\item Először lássuk be, hogy $o(g)=o(g^{-1})$.
\item Ezt felhasználva bizonyítsuk, hogy $(ab)^d=1$ esetén 
$o(a^d)=o(b^d)$ osztja $(o(a),o(b))$-t.
\item Igazoljuk az állítást!
\end{enumerate}

\item 
Tegyük fel, hogy $p$ prím és $o_p(a)=3$.
\begin{enumerate}
\item Bizonyítsuk be, hogy $1+a+a^2\equiv0\pod p$.
\item Számítsuk ki $o_p(1+a)$ értékét.
\end{enumerate}

\item Tegyük fel, hogy egy 54 lapos kártyapakli keverésére a következő 
módszert alkalmazzuk: két egyenlő részre szedjük szét a paklit, majd 
egymásba pörgetjük a két kupac kártyát, úgy, hogy a felső fél alsó
lapja kerül most legalulra, utána az alsó fél alsó lapja, majd a felső 
fél (alulról) második lapja, majd az alsó fél (alulról) második lapja, és 
így tovább. Ezt elismételjük néhányszor, hogy jól megkeveredjen a pakli. 
Valójában viszont csalni szeretnénk, addig akarjuk keverni a kártyákat, 
amíg vissza nem rendeződnek az eredeti sorrendjükbe. Hányszor kell legalább
kevernünk?\\
(Útmutatás: Számozzuk be a kártyákat alulról az $1,2,\dots,54$ számokkal és 
írjuk fel, hogy az $n$ sorszámú kártya egy keverés után hányadik helyre 
kerül.)

\item\hf
Legyen $p$ prím és $o_p(a)=2000$. Mennyi lehet $o_p(a^2)$, $o_p(a^3)$ és
$o_p(-a)$ értéke?

\item
Tegyük fel, hogy $a^{33}\equiv-1\pod{71}$. Mennyi $a^{22}$ modulo $71$?

\item \hf
Mutassuk meg, hogy $(a^n-1,a^k+1)\le2$, amennyiben $n$ páratlan.\\
(Útmutatás: Ha $d=(a^n-1,a^k+1)$, akkor vizsgáljuk $o_d(a)$ számot.)

\end{enumerate}
\end{document}
