\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}
\newcommand{\ind}{\mathop{\mathrm{ind}}}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 2005/2006 ősz\\
10. gyakorlat: Primitív gyök
}
\end{center}
\begin{enumerate}


\item
Keressük meg az összes primitív gyököt modulo 13, 10 és 18.

\item 
Oldjuk meg a $3x^5\equiv2\pod{13}$ és a $3x^{10}\equiv4\pod{13}$ 
kongruenciákat.

\item\hf
Keressük meg az $x^{10}\equiv7\pod{17}$ és a $11x^{15}\equiv17\pod{23}$
kongruenciák összes megoldását.

\item
Tegyük fel, hogy az $x^k\equiv1\pod p$ összes megoldása a $b_1$, $b_2$,
\dots, $b_r$ (modulo $p$ különböző) számok. Legyen $(a,p)=1$ és 
$x^k\equiv a\pod p$ egy megoldása $c$. Bizonyítsuk be, hogy ekkor 
$x^k\equiv a\pod p$ összes (modulo $p$ különböző) megoldása éppen $cb_1$, 
$cb_2$, \dots, $cb_r$.

\item Legyen $p$ prím, $k$ egész. Mivel kongruens 
\[
\sum_{a=1}^{p-1}a^k
\]
modulo $p$?

\item\hf
Adjunk új bizonyítást a Wilson-tételre ($(p-1)!\equiv-1\pod p$)
prímitív gyökök segítségével.

\item \hf
Legyen $p$ prím, $d\mid p-1$, $g$ primitív gyök modulo $p$ és $(a,p)=1$.
Mutassuk meg, hogy 
\[
o_p(a)=d \iff \exists t
\text{, amelyre $(t,d)=1$ és $\ind\nolimits_ga=t\cdot\frac{(p-1)}d$}
\]

\item
Mutassuk meg, hogy ha $m\neq2$, akkor két modulo $m$ primitív gyök szorzata
nem lehet primitív gyök.


\end{enumerate}
\end{document}
