\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}
\newcommand{\ind}{\mathop{\mathrm{ind}}}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 2005/2006 ősz\\
11. gyakorlat: Kvadratikus maradékok
}
\end{center}
A feladatokban $p$ páratlan prím.

\begin{enumerate}

\item Számítsuk ki az alábbi Legendre-szimbólumok értékét.
\[
\legendre{37}{19},~~~~~~\legendre{-100}{19},~~~~~~
\bullet~~\legendre{26123}{65537}
\]

\item Legyen $g$ primitív gyök modulo $p$. Számoljuk ki minden $k$-ra a 
$\legendre {g^k}p$ Legendre-jelet.

\item Bizonyítsuk be, hogy ha $o_p(a)$ páratlan, akkor $a$ kvadratikus 
maradék modulo $p$. Mely prímekre igaz az állítás megfordítása?

\item Tegyük fel, hogy $\legendre a{97}=-1$ és $a$ nem primitív 
gyök modulo $97$. Számítsuk ki $o_{97}(a)$ értékét.

\item \hf
Igazoljuk, hogy az alábbi állítások ekvivalensek.
\begin{enumerate}
\item[($i$)] $ab$, $ac$ és $bc$ is kvadratikus maradék.
\item[($ii$)] Vagy $a$, $b$ és $c$ is kvadratikus maradék, vagy mindhárom 
kvadratikus nem-maradék. 
\end{enumerate}

\item Mutassuk meg, hogy egy $8c^2-1$ alakú számnak minden prímosztója
$8k\pm1$ alakú és $c\neq0$ esetén van $8k-1$ alakú prímosztója.

\item \hf 
Mely $p$ prímekre van az $x^2+y^2\equiv0\pod p$ kongruenciának nemtriviális
megoldása. (Triviális megoldás az $x\equiv0\pod p$, $y\equiv0\pod p$; 
minden egyéb megoldás nemtriviális.)

\item Mennyi az $\legendre 1p$, $\legendre 2p$, \dots, $\legendre {p-1}p$
Legendre-jelek összege és szorzata?

\end{enumerate}
\end{document}
