\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet ZH\\}
{\bf 2005 december 1.}
\end{center}

\vskip 1.5cm

\begin{enumerate}

\item 
Számoljuk ki a $11\,413$ és a $10\,403$ számok legnagyobb közös osztóját és 
adjuk meg a $11\,413x+10\,403y=(11\,413,10\,403)$ diofantikus egyenlet egy 
megoldását!

\item Keressük meg az 
\[
x^5+x^2+x+1\equiv0\pod{27}
\]
kongruencia összes megoldását!

\item
Mennyi $13$ rendje modulo $49$?

\item
Keressünk primitív gyököt modulo 50. Határozzuk meg az
\[
x^{26}\equiv31\pod{50}
\]
összes megoldását.


\item
Adjuk meg azt a legkisebb $z$ pozitív egész számot, amelyre
\[
\sum_{a=1}^{17}(a^2-13)^{16}\equiv z\pod{17}.
\]

\item
Határozzuk meg az összes olyan $m\ge2$ egész számot, amely rendelkezik a 
következő tulajdonsággal:
\[
\text{ha $a\in\Z$, $a\not\equiv0\pod m$ akkor minden $n\in \N$ esetén 
$a^n\not\equiv0\pod m$.}
\]

\item
Mutassuk meg, hogy $(m_1,m_2)=d$ esetén az $x\equiv c_1\pod{m_1}$,
$x\equiv c_2\pod{m_2}$ kongruenciarendszer akkor és csak akkor oldható 
meg, ha $c_1\equiv c_2\pod d$.\\
(Segítség: ha $c_1\equiv c_2\pod d$, akkor mutassuk meg, hogy a
$dy\equiv d\pod{m_1}$, $dy\equiv0\pod{m_2}$ rendszer megoldható és 
$x=y(c_1-c_2)+c_2$ megoldása az eredeti kongruenciáknak.)





\end{enumerate}

\vskip 1.5cm

{\small
\noindent
Munkaidő 100 perc.\\
%A feladatok nem feltétlenül nehézségi sorrendben vannak.\\ 
Minden feladat hibátlan megoldása 10 pontot ér.
A válaszokat indokolni kell!\\
Osztályozás: 0-29: 1, 30-37: 2, 38-45: 3, 46-52: 4, 53-70: 5.
}
\end{document}
