\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 2006/2007 ősz\\
1. gyakorlat: Fibonacci-számok, teljes indukció}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Jelölje az $n$-edik Fibonacci-számot $F_n$, tehát $F_0=0$, $F_1=1$ 
és $n\ge2$-re $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$. Igazoljuk az alábbi összefüggéseket:
\begin{enumerate}
\item $\sum_{i=1}^nF_i=F_{n+2}-1$
\item $\sum_{i=1}^nF_{2i-1}=F_{2n}$
\item \hfa $\sum_{i=1}^nF_i^2=F_nF_{n+1}$
\end{enumerate}

\item
Bizonyítsuk be, hogy minden $n$ természetes számra 
$(1+\sqrt2)^{2n}+(1-\sqrt2)^{2n}$ páros szám, míg
$(1+\sqrt2)^{2n}-(1-\sqrt2)^{2n}$ egy természetes szám  
$\sqrt2$-szerese.

\item 
Van-e, olyan hárommal osztható Fibonacci-szám, amelyre a kettővel 
rákövetkező is osztható 3-mal?

\item
Bizonyítsuk be teljes indukcióval, hogy
\[
F_n=\frac1{\sqrt5}\left(\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n-
\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n\right)
\]

\item\hf
Mutassuk meg, hogy a Fibonacci-sorozat egy mértani sorozat 
sebességével nő, pontosabban van olyan pozitív $\tau$ szám, hogy minden
$n\ge2$ esetén 
$\tau^{n-2}\le F_n<\tau^{n-1}$.

\item
Mutassuk meg, hogy az 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,\dots sorozat
$n$-edik eleme $\lfloor\sqrt{2n}+\frac{1}{2}\rfloor$.

\item
Bizonyítsuk be, hogy ha $n$ természetes szám, akkor
$3^{2n+1}+2^{n+2}$ osztható 7-tel.

\item
Határozzuk meg mindazokat az $n$ természetes számokat, amelyekre
$2^n+1$ osztható 3-mal.

\item\hf
Bizonyítsuk be, hogy minden $n$ pozitív egészre
$133\mid 11^{n+1}+12^{2n-1}$.

%\item
%Keressük meg azokat az $n$ egész számokat, amelyekre $n-3\mid n^3-3$.

%\item
%Bizonyítsuk be, hogy ha $n$ egész szám, akkor $3n^2+2n+1$ nem osztható 5-tel.



\end{enumerate}
\end{document}
