\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\nehez}{\hskip -30pt ($*$) \hskip 13pt}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 2006/2007 ősz\\
3. gyakorlat: Egészek kanonikus alakja}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Bizonyítsuk be, hogy $a$, $b$ és $c$ egészekre pontosan akkor teljesül,
hogy $c\mid ab$, ha léteznek $a_1$ és $b_1$ egészek, amelyekre $a_1\mid a$,
$b_1\mid b$ és $c=a_1b_1$. Mutassuk meg, hogy ha $(a,b)=1$ és $c\mid ab$, 
akkor egyértelmű $a_1$ és $b_1$. 

\item Milyen $n$-ekre páratlan $n$ osztóinak száma (azaz $d(n)$)?

\item Egy természetes szám \emph{négyzetmentes}, ha nincs 1-től különböző 
négyzetszám az osztói között. Legyen $n$ négyzetmentes osztóinak száma
$A(n)$, a négyzetszám osztók száma $B(n)$, az összes osztók száma pedig $d(n)$.
Igazoljuk, hogy $A(n)B(n)\ge d(n)$. Mikor áll fenn egyenlőség?

\item Mely pozitív egész $n$ számok rendelkeznek a
\[
\forall\,k\in\N^+\,\colon\,n\mid k^2\Rightarrow n\mid k
\]
tulajdonsággal?

\item \hf Igazoljuk, hogy minden szám egyértelműen felírható 
egy négyzetszám és egy négyzetmentes szám szorzataként, azaz
minden $n$-hez létezik egyetlen $m$ és $k$ egész, amelyekre
$n=m^2k$ és $k$ semmilyen 1-nél nagyobb négyzetszámmal nem osztható.

\item \hf
Egy kegyetlen várúr börtönének 400 szűk cellájában egy-egy rab sínylődik. 
A cellák ajtaján levő zár úgy működik, hogy egy elfordítás esetén nyílik,
még egy elfordítás esetén ismét bezárul, stb. Jelenleg minden ajtó zárva van.
A várúr a születésnapján elhatározza, hogy nagylelkű lesz, és megparancsolja 
az egyik őrnek, hogy fordítson egyet valamennyi záron. Közben azonban 
meggondolja magát és utánaküld egy másik őrt, akit azzal bíz meg, hogy minden 
második záron fordítson egyet. Ezt követi a harmadik őr, aki minden harmadik 
záron változtat stb. Végül a négyszázadik őr a négyszázadik cella zárjának 
az állását módosítja. Azok a rabok szabadulnak ki, akiknek most nyitva áll
az ajtaja. Hány rabot bocsátott szabadon a várúr?

\item Tekintsük a páros számok körét! Mik a felbonthatatlanok és mik a 
prímek ebben a számkörben? Mely elemek írhatóak fel lényegében egyértelműen 
felbonthatatlan számok szorzataként?

\item
Hány 0-ra végződik $1516!$ a tizes számrendszerben?

\item\hf
Osztható-e $98$-cal $\binom{98}{48}$?

\item
Igazoljuk, hogy $\sqrt[5]{100}$ és $\log_{6}(18)$ irracionális.

\item A $10^n$ osztói közül maximum hányat lehet kiválasztani úgy, hogy 
ezek közül semelyik se legyen osztója semelyik másik kiválasztottnak?


%\item\nehez
%Tekintsünk 5000 különböző pozitív egész számot, amelyek közül 
%bármely tíznek ugyanaz a legkisebb közös többszöröse. Maximálisan 
%hány szám lehet közöttük, amelyek páronként relatív prímek?


\end{enumerate}
\end{document}
