\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ind}{\mathop{\mathrm{ind}}}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 1.~pótZH\\}
{\bf 2006 december 18.}
\end{center}

\vskip 1.5cm

\begin{enumerate}

\item
Keressük meg a 
\[
625x\equiv561\pod{2006}
\]
kongruencia összes megoldását.

\item
Határozzuk meg -3 rendjét modulo 29.

\item
Mennyi a pontos idő (óra, perc) éjfél után $39^{38^{37}}$ perccel?

\item
Adjuk meg az
\[
x^5+x^2+x+1\equiv0\pod{27}
\]
kongruencia összes megoldását.

\item
Keressük meg azon $p$ prímszámokat, amelyekre $\ind_7(2)=3$ modulo $p$.

\item
Legyen $p$ páratlan prímszám. Számoljuk ki a 
\[
\sum_{i=0}^{99}\legendre{2^i}p
\]
összeget.

\item
Tegyük fel, hogy $p$ páratlan prím és $g$, $g'$ primitív gyökök modulo 
$p$. Bizonyítsuk be, hogy $g\cdot g'$ biztosan nem lehet primitív gyök 
modulo $p$.

\end{enumerate}

\vskip 1.5cm

{\small
\noindent
Munkaidő 100 perc.\\
A feladatok nem nehézségi sorrendben vannak.\\ 
Minden feladat hibátlan megoldása 10 pontot ér.
A válaszokat indokolni kell!\\
Osztályozás: 0-29: 1, 30-37: 2, 38-45: 3, 46-52: 4, 53-: 5.
}
\end{document}
