\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\legendre}[2]{\genfrac(){}{}{#1}{#2}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 1.~ZH\\}
{\bf 2006 november 7.}
\end{center}

\vskip 1.5cm

\begin{enumerate}

\item Adjuk meg a $66\,049x+32\,639y = 7\,967$ diofantikus egyenlet egy
egész megoldását.

\item 
Melyik az a legkisebb pozitív egész $x$ szám, amelyre 
\[
x\equiv13^{11^{17}}\pod9
\]
teljesül.


\item
Keressük meg a
\[
39x^{5}\equiv8\pod7
\]
és a 
\[
39x^{5}\equiv8\pod{19}
\]
kongruenciák összes megoldásait (külön-külön a kettőt).

\item
Adjuk meg a 
\[
39x^{5}\equiv8\pod{931}
\]
kongruencia összes megoldását! (Segítség: $931=7^2\cdot19$)

\item
Egy $k$ számot köbmentesnek nevezünk, ha $m^3\mid k$-ból következik $m=\pm1$.
Mutassuk meg, hogy ha $n\in\N^+$, akkor $n$ 
egyértelműen bontható fel egy pozitív köbmentes szám és egy pozitív 
harmadik hatvány szorzatára. 
(Tehát létezik $k\in\N^+$ köbmentes és $m$ természetes
szám, hogy $n=k\cdot m^3$, továbbá $k$ és $m$ egyértelmű.)

\item
Legyen $p$ prím és $a$ egész, amelyre $o_p(a)=6$. 
\begin{enumerate}
\item Igazoljuk, hogy $a^2-a+1\equiv0\pod p$
\item Mutassuk meg, hogy $a-1$ modulo $p$ rendje 3.
\end{enumerate}

\item
Legyenek $p$ és $q$ különböző páratlan prímszámok.
\begin{enumerate}
\item Mutassuk meg, hogy ha $(a,pq)=1$, akkor az $x^2\equiv a\pod{pq}$ 
kongruenciának vagy 0, vagy 4 modulo $pq$ különböző megoldása van.
\item Bizonyítsuk be, hogy a $pq$-hoz relatív prím, modulo $pq$ különböző 
négyzetelemek száma $\frac{\varphi(pq)}4$.
\end{enumerate}

%\item
%Tegyük fel, hogy $g$ primitív gyök modulo $p$ és hogy $k$, $r$ egymáshoz 
%relatív prím egészek. Mutassuk meg, hogy $a=g^k$, $b=g^r$ esetén minden 
%$p$-hez relatív prím szám előáll $a^x\cdot b^y$ alakban, valamely $x$ és $y$ 
%egész számokkal.



\end{enumerate}

\vskip 1.5cm

{\small
\noindent
Munkaidő 100 perc.\\
%A feladatok nem feltétlenül nehézségi sorrendben vannak.\\ 
Minden feladat hibátlan megoldása 10 pontot ér.
A válaszokat indokolni kell!\\
Osztályozás: 0-29: 1, 30-37: 2, 38-45: 3, 46-52: 4, 53-70: 5.
}
\end{document}
