\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\nehez}{\hskip -30pt ($*$) \hskip 13pt}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 2009/2010 ősz\\
5. gyakorlat: Lineáris kongruenciák, rend}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Keressük meg az alábbi kongruenciák megoldásait!
\begin{enumerate}
\item $5x  \equiv 2  \pod {17}$;
\item $-6x \equiv 10 \pod {27}$;
\item $32x \equiv 8  \pod {34}$;
\item $18x \equiv 99 \pod {323}$;
\item $555x\equiv5555 \pod{55555}$.
\end{enumerate}

\item Oldjuk meg a következő kongruenciarendszereket!
\begin{enumerate}
\item $3x \equiv 4 \pod {11}$, $11x \equiv 3 \pod {15}$;
\item $3x \equiv 4 \pod {16}$, $11x \equiv 3 \pod {14}$.
\end{enumerate}

\item Mi a következő (nem lineáris) kongruenciák megoldása?
\begin{enumerate}
\item $2x^{20}+3x+4\equiv 0 \pod{176}$;
\item \hfa $2x^{91}+5x+1\equiv 0 \pod{297}$.
\end{enumerate}

\item Számoljuk ki az alábbi rendeket!
\begin{enumerate}
\item $o_{21}(23)$
\item \hfa $o_{89}(86)$
\end{enumerate}

\item Tegyük fel, hogy $p$ prím és $o_p(a)=3$.
\begin{enumerate}
\item Bizonyítsuk be, hogy $1+a+a^2\equiv0\pod p$.
\item Számítsuk ki $o_p(1+a)$ értékét.
\end{enumerate}

\item Bizonyítsuk be, hogy amennyiben $o(a)=n$, akkor 
$o(a^k)=\frac{n}{(n,k)}$.

\item Tegyük fel, hogy egy 54 lapos kártyapakli keverésére a következő 
módszert alkalmazzuk: két egyenlő részre szedjük szét a paklit, majd 
egymásba pörgetjük a két kupac kártyát, úgy, hogy a felső fél alsó
lapja kerül most legalulra, utána az alsó fél alsó lapja, majd a felső 
fél (alulról) második lapja, majd az alsó fél (alulról) második lapja, és 
így tovább. Ezt elismételjük néhányszor, hogy jól megkeveredjen a pakli. 
Valójában viszont csalni szeretnénk, addig akarjuk keverni a kártyákat, 
amíg vissza nem rendeződnek az eredeti sorrendjükbe. Hányszor kell legalább
kevernünk?\\
(Útmutatás: Számozzuk be a kártyákat alulról az $1,2,\dots,54$ számokkal és 
írjuk fel, hogy az $n$ sorszámú kártya egy keverés után hányadik helyre 
kerül.)

\item Mutassuk meg, hogy $(a^n-1,a^k+1)\le2$, amennyiben $n$ páratlan.

\end{enumerate}
\end{document}
