\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsthm}
%\usepackage{graphics}
%\usepackage{fullpage}
%\addtolength{\textheight}{2 cm}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ind}{\mathop{\mathrm{ind}}}
\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\nehez}{\hskip -30pt ($*$) \hskip 13pt}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Számelmélet 2009/2010 ősz\\
7. gyakorlat: Primitív gyök, index}
\end{center}

\begin{enumerate}
% g prim gyok iff o(g)=\varphi(m)
% g prim gyok iff 1, g, g^2, \dots, g^{\varphi(m)} red mar rsz.
% g prim gyok. g^k prim gyok iff (k,\varphi(m))=1

 
\item Oldjuk meg a $3x^5\equiv2\pod{13}$ és a $3x^{10}\equiv4\pod{13}$ 
kongruenciákat!

\item\hf Adjuk meg az $5x^{22}\equiv6\pod{17}$ összes megoldását.


\item \hf
Tegyük fel, hogy az $x^k\equiv1\pod p$ összes megoldása a $b_1$, $b_2$,
\dots, $b_r$ (modulo $p$ különböző) számok. Legyen $(a,p)=1$ és 
$x^k\equiv a\pod p$ egy megoldása $c$. Bizonyítsuk be, hogy ekkor 
$x^k\equiv a\pod p$ összes (modulo $p$ különböző) megoldása éppen $cb_1$, 
$cb_2$, \dots, $cb_r$.

\item Igazoljuk, hogy amennyiben $g$ primitív gyök modulo $m$, akkor 
\begin{enumerate} 
\item $g^k$ primitív gyök $\iff$ $(k,\varphi(m))=1$ és
\item modulo $m$ pontosan $\varphi(\varphi(m))$ (páronként inkongruens)
primitív gyök van.
\end{enumerate}

\item Legyen $p$ prím, $k$ egész. Mivel kongruens 
\[
\sum_{a=1}^{p-1}a^k
\]
modulo $p$?

\item Legyen $p > 2$ prím. Milyen maradékot ad $p$-vel osztva az összes (páronként
inkongruens) primitív gyök szorzata?

\item
\begin{enumerate} 
\item Mutassunk példát olyan 1 főegyütthatós, egész együtthatós $f$
polinomra, aminek $f$ fokszámánál több gyöke van modulo 15.
\item Lássuk be (az előbbi $f$ segítségével), hogy $\Z_{15}[x]$ 
polinomgyűrűben nem egyértelmű minden polinom irreducíbilis polinomokra 
bontása.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
