\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}

\newtheorem*{all}{Állítás}

%\swapnumbers
%\newtheorem{Thm}{Tétel}[subsection]
%\newtheorem{Def}[Thm]{Definíció}
%\newtheorem{Lem}[Thm]{Lemma}
%\newtheorem{Kov}[Thm]{Következmény}
%\newtheorem{Mj}[Thm]{Megjegyzés}
%\newtheorem{HF}[Thm]{Házi feladat}
%\newtheorem{All}[Thm]{Állítás}
%\newtheorem{K}[Thm]{Kérdés}
%\newtheorem{Pl}[Thm]{Példa}

\newtheorem{F}{}
\newtheorem{FF}{}
\newtheorem{HF}{HF}
\newtheorem{HFF}{HF}

\newcommand{\mc}{\mathcal}
\newcommand{\mf}{\mathfrak}
\newcommand{\mbb}{\mathbb}
\newcommand{\mbf}{\mathbf}
\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\TT}{\mathbb{T}}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\newcommand{\la}{\langle}
\newcommand{\sub}{\subset}
\newcommand{\0}{\emptyset}
\newcommand{\bs}{\backslash}
\newcommand{\vd}{\Vdash}
\newcommand{\Ra}{\Rightarrow}
\newcommand{\fv}{\rightarrow}
\newcommand{\A}{\aleph}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\ga}{\gamma}
\newcommand{\de}{\delta}
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\lam}{\lambda}
\newcommand{\ka}{\kappa}
\newcommand{\ze}{\zeta}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\bc}{\begin{center}}
\newcommand{\ec}{\end{center}}
\newcommand{\fel}{\ge}
%\newcommand{}{}
%\newcommand{}{}


\renewcommand{\proofname}{Bizonyítás}

\setcounter{tocdepth}{2}

\pagestyle{empty}


\addtolength{\textheight}{4.2cm} \addtolength{\textwidth}{2.2cm}
\addtolength{\voffset}{-1cm} \addtolength{\oddsidemargin}{-0.5cm}
\addtolength{\hoffset}{-0.5cm} \addtolength{\marginparwidth}{-5cm}
\begin{document}
%\title{}
%\author{}
\date{}
%\maketitle
%\tableofcontents
\bc \LARGE{I. Számelemélet ZH (2009/2010)} \ec $ $

Minden feladat $10$ pontos, de $60$ pont már $100\%$-nak számít.

\begin{F}
{\em Keresd meg a $2898x+ 2763y=45$ diofantikus egyenletet egy megoldását.}
\end{F}


\begin{F}
{\em Bizonyítsd be, hogy ha $a$, $b$ és $c$ természetes számok, akkor 
\[9\mid a^{30}+b^{30}+c^{30}\Longrightarrow 9^{15}\mid a^{30}+b^{30}+c^{30}.\]}
\end{F}

\begin{F}
{\em Milyen maradékot ad $8^{5^{21}}$ osztva $19$-cel?}
\end{F}

\begin{F}
{\em Oldd meg a $10x^{84}+3x+7\equiv 0\pod{35}$ kongruenciát. }
\end{F}

\begin{F}
{\em Milyen maradékot $16!$ osztva $51(=17\cdot 3)$-mal.}
\end{F}


\begin{F}
{\em Oldd meg az $5x^{14}\equiv 14\pod{17}$ kongruenciát.}
\end{F}


\begin{F}
{\em Bizonyítsd be, hogy két egymást követő pozitív természetes szám szorzata nem lehet teljes hatvány, vagyis $m^k$ alakú szám, ahol $m>0$ és $k> 1$.}
\end{F}






\end{document}
