\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{graphics}
\usepackage{epic}
\usepackage{eepic}
\usepackage{color}
\usepackage{amssymb}

\setlength{\hoffset}{-1 cm}
%\setlength{\voffset}{-2 cm}
\addtolength{\textwidth}{2 cm}
%\addtolength{\textheight}{4 cm}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf 
Számítástudomány elemei\\
12. gyakorlat
}
\end{center}

\large

\begin{enumerate}
\item Legyen $n$ természetes szám összetett, és tegyük fel hogy van
erre (Euler-Fermat) tanú. Mutassuk meg, hogy legalább $\frac{n-1}{2}$
tanú van!  Útmutatás: igazoljuk, hogy két nem-tanú szorzata is
nem-tanú, és így a nem-tanúk részcsoportot alkotnak. Legfeljebb mennyi
elemet tartalmazhat ez a részcsoport?)

\item 2-álprímek-e az alábbi számok: 1105, 989?

\item Bizonyítsuk be, hogy minden $n$ természetes számhoz található
$n$ elem\H u csoport, és végtelen sok $n$-re igaz az, hogy minden $n$
elem\H u csoport izomorf!

\item Bizonyítsuk be, hogy ha egy $G$ csoportban minden elem
másodrend\H u, akkor $G$ kommutatív!

\item Bizonyítsuk be, hogy ciklikus csoport minden részcsoportja normálosztó!

\item Ciklikus csoportban mennyi az összes elem szorzata?

\item Egy csoport rendje 81 és van olyan eleme, amelynek 27. hatványa
nem az egységelem. Bizonyítsuk be, hogy a csoport kommutatív!

\item Bizonyítsuk be, hogy egy 2 index\H u részcsoport normálosztó.

\item Igazoljuk, hogy egy csoport akkor és csak akkor végtelen, ha
részcsoportjainak száma végtelen!

\item Egy leképezés egy csoport minden eleméhez az inverzét rendeli!
Mutassuk meg, hogy ez a leképezés akkor és csak akkor homomorfizmus,
ha a csoport kommutatív!

\item Legyen $G$ egy legalább kételem\H u véges csoport! Bizonyítsuk
be, hogy $G$-nek van prímrend\H u eleme!

\item Legyeg $G$ egy csoport, $g\in G$ pedig egy tetsz\H oleges eleme
Bizonyítsuk be, hogy $x\mapsto g^{-1}xg$ leképezés homomorfizmus!

\item Legyen $\varphi: G \rightarrow H$ csoportok közötti
homomorfizmus és legyen $N=\{g\in G : \varphi(x)=e\}$ azon elemek
halmaza, amelyek a $H$ egységelemére képez\H odnek. Mutassuk meg, hogy
$N$ normálosztó $G$-ben!

\end{enumerate}

\end{document}








