ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA
Gépészmérnök és Terméktervező hallgatóknak

H1 rajz 2008/09/2

Adott az ABCDAxBxCxDx parallelepipedon (parallelogramma alapú ferdehasáb) ABCD alaplapjának A, B és D csúcsa, továbbá az AAx oldalél Ax végpontja. A test középpontján át egyeneseket veszünk fel az  A csúcsból kiinduló három éllel párhuzamosan, és ezekre a rendre rámérjük a középponttól a megfelelő élek hosszát mindkét irányban. Ábrázoljuk azt a konvex testet, amelynek csúcsait az így kapott 6 pont és az eredeti parallelepipedon 8 csúcsa alkotja. A(75, 80, 150); B(95, 20, 180); D(135, 110, 170); Ax(45, 100, 210).

Megjegyzés: Bizonyítható, hogy az adott koordinátákkal meghatározott parallelepipedon egy kocka. A feladatban szereplő testet úgy is elképzelhetjük, hogy e kocka minden lapjára egy-egy szabályos négyoldalú gúlát helyezünk, amelyeknek magassága a kocka élhosszának fele. Belátható, hogy  a kocka egy éle mentén egymás mellé kerülő két gúlának a közös élhez illeszkedő oldallapja egy síkba esik, és így a két háromszöglap egyesítéseként egy rombuszt kapunk.  Tehát az eredeti kocka minden éle az új 12 lapú test (rombikus dodekaéder) egy-egy rombusz alakú lapjának rövidebb átlója lesz. (Ha kocka helyett általános parallelepipedonból indulunk ki a feladatban leírtak szerint, akkor a lapokra ferde gúlák kerülnek, és ezeknek a pallelepipedon egy éle mentén illeszkedő lapjai most is egy síkba esnek, parallelogramma alakú lapokat képezve.)