3. Feladat
Számítsa ki az r(u,v) = (i*u*ch[v] + j*u*sh[v] + k*u) egyenlettel adott felület felszínét az (u,v) ε [0,1] x [0,1] paramétertartományon!
Milyen görbék a felületnek a koordinátasíkokkal alkotott metszésvonalai?
Jellemezze a paramétervonal hálót!
A megadott felület egy kúpfelület, melynek csúcsa az origó, vezérgörbéje pedig egy hiperbola.
A paraméterháló jellemzése:
Alkotó egyenesek:
r[u, v0] = {u*a, u*b, u}
A vezérgörbéhez centrálisan hasonló hiperbolák:
r[u0, v] = {u0*Cosh[v], u0*Sinh[v], u0}
Ezen hiperbolák a függvényben látható "u0" miatt olyan síkokban helyezkednek el, amelyek párhuzamosak az x-y síkkal.
Ebből, valamint a kúpfelület sajátosságából kifolyólag:
Az x-y síkkal való metszet csupán az Origó.
Mivel a {Cosh[t], Sinh[t]} hiperbola nem metszi az y tengelyt, így:
Az y-z síkkal való metszet is csak az Origó.
A {Cosh[t], Sinh[t]} az x = 1 pontban (x=1, y=0) metszi az x tengelyt - Ez a t = 0 paraméter megválasztásánál történik.
Így megadott fv-be v = 0-át helyettesítve, megkapjuk a felület és az x-z sík metszésével keletkező görbét:
Ami egy 45°-os egyenesnek felel meg.
A felület, valamint az egységnyi méretű vezérgörbe ábrázolása:
A megadott paramétertartományon a felület felszíne:
