5. Feladat
Határozza meg a normálgörbületek szélsőértékeit a z = x^2 + y^2 egyenletű forgásparaboloid (1, 0, 1) koordinátájú pontjában!
A pont rajta van a felületen.
Ennél a paraméterezésnél a megadott pontot u = 1, v = 0 értékekkel tudjuk megkapni.
Mivel egy adott pontnál vizsgáljuk a különböző normálgörbületek értékét, így azok értéke csak az érintő iránytól függ.
Ahol t = (du/dt)/(dv/dt) = du/dv
Ezt a t paramétert mínusz végtelen és végtelen között vizsgálva kaphatjuk meg a különböző érintő irányokat, majd a normálgörbület szélsőértékeit.
Mivel a program nem tudja megvizsgálni, hogy a mínusz végtelenben és a végtelenben a görbület-függvény deriváltja metszi-e a 0-át, ezért máshogy kell vizsgálnunk, hogy ott van-e szélső értéke a függvénynek.
Mégpedig úgy, hogy a "t" paraméter helyett T = (dv/dt)/(du/dt) = dv/du paraméterrel vizsgáljuk a függvényt. Ez a paraméter a T = 0 -ban ugyanazt a görbületet fogja adni, mint a "t" paraméter a + vagy - végtelenben.
Ebben az esetben a görbület függvénye:
Ahogy az sejthető volt, az előző paraméter szerinti végtelenben, a mostani paraméter szerinti 0-ban is van szélső értéke a normál-görbület függvényének.
Tehát az adott pontban a görbület szélsőértékei:
