Differenciálgeometria - Első Házi Feladat - 1. Feladat

Készítette : Gyebrószki Gergely
2009. október 14.
(C) Szabadon felhasználható

Ajánlott Mathematica verzió : 6
Amennyiben más állomány is használta az aktuális kernelt, ne felejtse el újraindítani azt a kiértékelés megkezdése előtt.

Igazolja, hogy a Viviani - görbe normálsíkjai áthaladnak a görbét tartalmazó gömb középpontján!

A Viviani - görbe egyenlete :

r[t_]={a Cos[t]^2,a Cos[t] Sin[t],a Sin[t]};

A görbét befoglaló gömb középpontja :

Kp={0,0,0};

A normálsíkot a kísérő triéder normális és binormális egységvektora határozza meg. A normálsík normálisa a kísérő triéder tangenciális egységvektora, ezért, ha egy adott pontba húzott r[t] helyvektorra merőleges lesz a hozzá tartozó tangenciális egységvektor, akkor az r[t] helyvektor a normálsíkban fog elhelyezkedni. Mivel r[t] helyvektor tartalmazza a {0, 0, 0} pontot, az előbb említett merőlegesség bizonyításával (tetszőleges t paraméterre) megoldható a feladat.

A térgörbe első deriváltja (r pont) :

rp[t_]=D[r[t],t];

A tangenciális egységvektor párhuzamos rp[t] - vel.

A skalárszorzat :

r[t].rp[t]

Egyszerűsítve :

FullSimplify[r[t].rp[t]]

Tehát a kísérő triéder tangenciális egységvektora minden t paraméternél merőleges r[t] helyvektorra, így r[t] helyvektor a normálsíkban van, mely ennélfogva tartalmazza {0,0,0} pontot is.

Ugyanez a feladat megoldható a normálsík egyenletének felírásával is.

A kísérő triéder normális egységvektora :

Norm[rp[t]]

FullSimplify[(Sqrt[(((a Cos[t]))^2)+4 (((a Cos[t] Sin[t]))^2)+(((a ((Cos[t])^2)-a ((Sin[t])^2)))^2)])]

n[t_]=rp[t]/((Sqrt[(a^2) (3+Cos[2 t])])/(Sqrt[2]))

A normálsík egyenlete (tetszőleges {x, y, z} pontra) :

sik=({x,y,z}-r[t]).n[t]==0

Bizonyítsuk be, hogy a sík egyenletébe Kp középpontot behelyettesítve 0 - t kapunk.

mo=(Kp-r[t]).n[t]

FullSimplify[mo]

Tehát a normálsík egyenletét kielégíti a Kp pont, tetszőleges t paraméterre.

A viviani görbe, származtató hengere és gömbje, valamint a normálsík ábrázolása tetszőleges t0 paraméterre.

Manipulate[
Show[
ParametricPlot3D[{a Cos[t]^2,a Cos[t] Sin[t],a Sin[t]},{t,0,2π},PlotStyle->{Red,Thick},PlotRange->{{-a,a},{-a,a},{-a,a}}],
Graphics3D[{Opacity[0.3],Yellow,Sphere[{0,0,0},a]}],
Graphics3D[{Opacity[0.3],Green,Cylinder[{{a/2,0,-2a},{a/2,0,2a}},a/2]}],
Plot3D[-Sec[t0] (y ((Cos[t0])^2)-a Cos[t0] Sin[t0]-2 x Cos[t0] Sin[t0]+a ((Cos[t0])^3) Sin[t0]-y ((Sin[t0])^2)+a Cos[t0] ((Sin[t0])^3)),{x,-10,10},{y,-10,10},Mesh->None,PlotStyle->Directive[Purple,Specularity[White,20],Opacity[0.3]]],
Graphics3D[{Black,Thick,Line[{{0,0,0},{a Cos[t0]^2,a Cos[t0] Sin[t0],a Sin[t0]}}]}]
],
{a,1,10},{t0,0,2π}]