Hét

Előadás anyaga

1

Metrikus terek. Definíció, folytonosság.

2

Topologikus terek. Definíció, bázis, zárt halmazok, Hausdorff-terek.

3

Műveletek topologikus terekkel. Altér-, szorzat-, hányados-topológia, ragasztás.

4

Összefüggőség, ívszerű összefüggőség, Bolzano közbenső-érték tétele.

5

Kompaktság. Kompaktság Hausdorff-terekben, szorzat-topológia és kompaktság. Kompaktság Rⁿ-ben, Heine–Borel tétel. Különböző kompaktsági fogalmak összehasonlítása.

6

Homotópia, homotopikus ekvivalencia fogalma, a fundamentális csoport definíciója.

7

A fundamentális csoport tulajdonságai. Indukált homomorfizmus, fundamentális csoport és a bázispont megváltoztatása, homotopikus tulajdonságok.

8

pi₁(S¹) = Z és az algebra alaptétele.

9

A fedőtér definíciója, a főtétel. Kapcsolat a fedőleképezés magja és a fundamentális csoportok hányadosai között.

10

Fedőterek osztályozása. Fedés tetszőleges részcsoporthoz, reguláris, univerzális fedés,

fedések ekvivalenciája és hálójuk.

11

pi₁(Sⁿ) = 1 (n > 1) (a Sard–lemma kimonása).
A pi : SU(2) ---> SO(3) fedés, pi₁(SO(3)) = Z₂.
A pi : SU(2) x SU(2) ---> SO(4) fedés, pi₁(SO(4)) = Z₂.

12

Kompakt felületek modelljei és fundamentális csoportjaik meghatározása (a hiperbolikus

síkkal kapcsolatos ismeretek kimondása).

13

Topologikus és differenciálható sokaságok definíciói, példák. Legegyszerűbb tulajdonságok. 

14 

Az összefüggő, kompakt egydimenziós sokaságok topologikus osztályozása. Az összefüggő, kompakt felületek topologikus osztályozása.

Tételsor a vizsgához, Követelmények

Ajánlott irodalom:

– J. R. Munkres: Topology, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458
– H. Schubert: Topologia, Muszaki konyvkiado, Budapest 1986
– J.R. Weeks: A ter alakja, Typotex, Budapest 2002
– B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov: Modern geometry – Methods and applications I – III, GTM 93, 104, 124, Springer, New York 1984, 1985, 1986.