Differenciálgeometria - Első Házi Feladat - 2. Feladat

Készítette : Gyebrószki Gergely
2009. október 14.
(C) Szabadon felhasználható

Ajánlott Mathematica verzió : 6
Amennyiben más állomány is használta az aktuális kernelt, ne felejtse el újraindítani azt a kiértékelés megkezdése előtt.

Igazolja, hogy a hengeres csavarvonal görbületi középpontjai is csavarvonalon helyezkednek el.

r[t_]={a Cos[t],a Sin[t],b t};

Áttérés természetes paraméterezésre :

Norm[D[r[t],t]]

S=Integrate[(Sqrt[(b^2)+(((a Cos[t]))^2)+(((a Sin[t]))^2)]),t]

Solve[s==S,t]

R[s_]=r[t]/.t->(s/(Sqrt[(a^2)+(b^2)]))

R''[s_]

A görbület meghatározása:

Norm[R''[s]]

κ=Simplify[(Sqrt[(((((a Cos[(s/(Sqrt[(a^2)+(b^2)]))])/((a^2)+(b^2)))))^2)+(((((a Sin[(s/(Sqrt[(a^2)+(b^2)]))])/((a^2)+(b^2)))))^2)]),{a>0,b>0}]

A kísérő triéder normális irányú egységvektora (ívhossz szerinti paraméterezésben) :

nn[s_]=R''[s]/κ

A görbületi középpontba mutató helyvektor (ívhossz szerinti paraméterezésben) :

cc[s_]=Simplify[R[s]+nn[s]/κ]

A görbületi középpontba mutató helyvektor (t szerinti paraméterezésben) :

c[t_]=cc[s]/.s->(Sqrt[(a^2)+(b^2)]) t

Az előző egyenleten látható, hogy szintén csavarvonal alakú.

Az eredmények megjelenítése

Manipulate[
Show[
ParametricPlot3D[{a Cos[t],a Sin[t],b t},{t,0,2π},PlotStyle->Thick,ColorFunction->"RustTones"],
ParametricPlot3D[{-(((b^2) Cos[t])/a),-(((b^2) Sin[t])/a),b t},{t,0,2π},PlotStyle->{Thick}, ColorFunction->"BlueGreenYellow"],
Graphics3D[{Purple,Opacity[0.7],Polygon[{{0,0,0},{a Cos[t0],a Sin[t0],b t0},{-(((b^2) Cos[t0])/a),-(((b^2) Sin[t0])/a),b t0}}]}],
PlotRange->All
],
{a,1,10},{b,1,10},{t0,0,2π}]

Magyarázat : BARNA - eredeti csavarvonal, KÉKESZÖLD - görbületi kp - ok vonala, HÁROMSZÖG - a csavarvonal és a görbületi kp-ok vonalának helyvektorai által közbezárt terület.