Doktorandusz hallgatóknak
ajánlott
Geometriai témájú tárgyaK
Minkowszki geometriák
Tárgykód: BMETE94D001; Követelmény: 2/0/0/V/3;
Tárgyfelelős: Dr. G. Horváth Ákos;
Tematika: Geometriai Minkowski tér, azaz a végesdimenziós Banach terek geometriája.
Alapfogalmak alapalakzatok, biszektor, kúpszelet, térfogatfogalmak,
automorfimus csoportok. Véges dimenziós pszeudo-euklidészi tér, tér-idő, Rieman
és Pszeudo-Rieman struktúrák. Szemi-indefinit skalár szorzat. Általánosított
Minkowski tér, speciális relativitás elmélet általánosított tér-idő modellben,
determinisztikus és véletlen idő-tér modell, Einstein egyenlet idő-tér
modellben.
Irodalom:
G. Horváth Ákos: Csodálatos geometria, Typotex 2013.
A klasszikus mezőelméletek geometriája 2
Tárgykód: BMETE947204; Követelmény: 2/0/0/V/3;
Tárgyfelelős: Dr. Etesi Gábor;
Tematika: Komplex és majdnem komplex sokaságok definíciója, holomorf vektornyalábok;
tenzorok felbontása majdnem komplex sokaságok felett; a majdnem
komplex-sokaságok integrálhatóságára vonatkozó Newlander--Nirenberg-tétel
kimondása. A tvisztor-tér fogalma: egy négydimenziós irányított
Riemann-sokaság tvisztor-tere; ezen kanonikus majdnem komplex struktúra
előállítása; a majdnem komplex struktúra integrálható, ha a Riemann-sokaság
félig konformálisan lapos (Penrose, Atiyah--Hitchin--Singer); példák
tvisztor-terekre: a kerek S4 tvisztor-tere C(P3)
és ennek meseszép geometriája. Az ADHM-konstrukció: az
(anti)öndualitási-egyenletek megoldása tvisztor-terekkel. Spinorok és a
Dirac-egyenlet: egy skalárszorzatos vektortér Clifford-algebrája; a
Clifford-algebrák és irreducibilis reprezentációik osztályozása; a spinor
fogalma; Riemann-sokaságok spin-struktúrái és létezésük topológiai akadálya, a
spinor-mező fogalma; a Dirac-operátor, Dirac-egyenlet; spin(c)-struktúrák. A
klasszikus mező-elméletek általános szerkezete: egy általános relativisztikus
téridő fölötti Yang--Mills-elméletek szerkezete klasszikus szinten: a
részecskefizika Standard Modellje. A mező-elméletek kvantálásának óriási
matematikai és fizikai (koncepcionális) nehézségei. A Seiberg--Witten-elmélet
elemei: A Seiberg--Witten egyenletek, a megoldások modulus-terének kompaktsága;
egy sima 4-sokaság Seiberg--Witten-invariánsa.
Irodalom:
Fizika és geometria, Fizikus-matematikus nyári iskola Óbánya,1997., Barnaföldi
G., Rimányi R., Matolcsi, T., 1999.
R.S. Ward, R.O. Wells: Twistor geometry and field theory, Cambridge Univ.
Press, Cambridge (1991).
R.M. Wald: General relativity, University of Chicago press, Chicago, 1984.
Bevezetés az Atiyah--Singer index-tétel témakörébe
Tárgykód: BMETE947211; Követelmény: 2/0/0/V/3;
Tárgyfelelős: Dr. Etesi Gábor;
Tematika: Szoboljev-terek sokaságokon: egy sokaság feletti vektornyaláb szeléseiből
Álló különböző Szoboljev-terek konstrukciója; Szoboljev beágyazási tétele és a
Rellich--Kondrashov kompaktsági tétel. Elliptikus differenciál-operátorok
sokaságokon: egy sokaság feletti differenciál-operátor fogalma; lineáris
differenciál-operátor szimbóluma és elliptikusságának definíciója; a
Fredholm-operátor fogalma és egy ilyen operátor analitikus indexe; egy kompakt
sokaság feletti lineáris elliptikus differenciál-operátor Fredholm; az
Atiyah--Singer index-tétel egyik oldala: egy elliptikus operátor analitikus
indexe. A topologikus K-elmélet elemei: egy topologikus tér feletti
vektornyalábok félgyűrűje; egy félgyűrű Grothendieck-bővítése és a topologikus
tér K-csoportja; egy elliptikus operátor index-nyalábja; az
Atiyah--Singer index-tétel másik oldala: egy elliptikus operátor topologikus
indexe; az Atiyah--Singer index-tétel kimondása: az analitikus és a topologikus
indexek egyenlőek. Számolások: A Dirac- és a Laplace-operátorok indexeinek
kiszámolása; különböző deformációs komplexusok indexei, stb. Az index-tétel
hővezetési-egyenletes bizonyításáról: a hővezetési-egyenlet egy
Riemann-sokaságon; a hővezetési-egyenlet megoldása hőmag-kifejtéssel; a hőmag
hosszúidejű aszimptotikája az analitikus index; a hőmag rövididejű
aszimptotikája a topologikus index; a hőmag időfüggetlensége és az index-tétel.
Irodalom:
Fizika és geometria, Fizikus-matematikus nyári iskola Óbánya,1997., Barnaföldi
G., Rimányi R., Matolcsi, T., 1999.
R.S. Ward, R.O. Wells: Twistor geometry and field theory, Cambridge Univ.
Press, Cambridge (1991).
R.M. Wald: General relativity, University of Chicago press, Chicago, 1984.
Divízió-algebrák és szuperszimmetrikus Yang--Mills-elméletek
Tárgykód: BMETE947205; Követelmény: 2/0/0/V/3;
Tárgyfelelős: Dr. Etesi Gábor;
Tematika: Normált divízió-algebrák alapvető tulajdonságai: definíció, a legfontosabb
példák: a valós-, a komplex-számok, a kvaterniók és az októniók (Cayley számok)
mint normált divízió-algebrák; a legfontosabb algebrai és topológiai
tulajdonságok. Clifford-algebrák ´es a Hurwitz-tétel: egy valós skalárszorzatos
vektortér Clifford-algebrája; a valós Clifford-algebrák és irreducibilis
reprezentációik osztályozása; a spinor fogalma; az osztályozás néhány algebrai
és topológiai következménye; a trialitás; egy fontos következmény: a normált
divízió-algebrák Hurwitz-féle osztályozásának egy modern bizonyítása;
megjegyzés a nem-egységelemes normált divízió-algebrák osztályozásáról, ill. az
alternatív divízió-algebrák osztályozásáról (Frobenius tétele).
Szuperszimmetrikus Yang–Mills-elméletek: A Yang–Mills-mező és a spinor-mező
definíciója sokaságokon; egy Yang–Mills- és egy spinor-mezőböl álló minimálisan
csatolt klasszikus mező-elmélet definíciója tetszőleges pszeudo-Riemann-sokaság
felett; a szuperszimmetria-algebra definíciója tetszőleges
pszeudo-Riemann-sokaság felett; annak bizonyít´asa, hogy amennyiben A egy n-dimenziós
valós, egységelemes, normált divízió-algebra, akkor a fentebbi klasszikus
mező-elmélet szuperszimmetrikus az n + 2 dimenziós Minkowski-téridőn; a
Hurwitz-tétel következménye: egy spinormezőhöz minimálisan csatolt
Yang–Mills-elmélet szuperszimmetrikus a d dimenziós Minkowski-téridőn akkor és
csak akkor, ha d = 3; 4; 6; 10. Szuperszimmetrikus Yang–Mills-elméletek
sokaságokon: a szuperszimmetrikus Yang–Mills-elmélet definíciója sokaságokon;
az N = 2 szuperszimmetrikus Yang–Mills-elmélet konstrukciója tetszőleges
4-dimenziós Riemann-sokaságon: A Witten-féle topologikus csavarás.
Irodalom:
Fizika és geometria, Fizikus-matematikus nyári iskola Óbánya,1997., Barnaföldi G.,
Rimányi R., Matolcsi, T., 1999.
R.S. Ward, R.O. Wells: Twistor geometry and field theory, Cambridge Univ.
Press, Cambridge (1991).
R.M. Wald: General relativity, University of Chicago press, Chicago, 1984.
Klasszikus nemeuklideszi geometriák és modelljeik
Tárgykód: BMETE947207; Követelmény: 2/0/0/V/3;
Tárgyfelelős: Dr. Szirmai Jenő;
Tematika: Az n-dimenziós szférikus (elliptikus) és a Bolyai-Lobacsevszkij-
féle hiperbolikus állandó görbületű geometriáknak az MSc képzés során elkezdett
vizsgálatát folytatjuk a tárgy keretében. A korábbi ismeretek felelevenítése
után a geometriák projektív modelljeinek felhasználásával kiépítjük a
geometriák teljes trigonometriáját, Klasszikus euklideszi tételek megfelelőit
bizonyítjuk az elliptikus és hiperbolikus síkon (Ceva, Menelaos, Heron-formula,
stb.) Kiszámítjuk a hiperbolikus n-dimenziós gömbök (horoszféra,
hiperszféra, hagyományos gömb) típusainak egyenleteit, térfogatait.
Áttekintjük az ú.n. komplett ortoszkémek osztályozását, kitérve a
háromdimenziós Lambert-kocka típusaira. Számolási apparátust tárgyalunk hiperbolikus
poliéderek metrikus adatainak kiszámítására. Az elliptikus és hiperbolikus
síkban vizsgáljuk a területszámítási és átdarabolhatósági kérdéseket majd
levezetjük a háromdimenziós hiperbolikus ortoszkémek térfogatformuláját,
kitekintünk a magasabb dimenziós ortoszkémek térfogatszámolási kérdéseire és
eredményeire. Kitérünk az n-dimenziós hiperbolikus térben az
elhelyezések és fedések sűrűségének definiálási problémájára, majd az
elhelyezési és fedési kérdéskör eredményeire és nyitott feladataira.
Irodalom:
E.B. Vinberg (ed): Geometry II, Springer Verlag, 1993.
Thurston, W. P. (and Levy, S. ed.) Three-Dimensional Geometry and Topology,
Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1997.
Thurston geometriák és modelljeik
Tárgykód: BMETE94D006; Követelmény: 2/0/0/V/3;
Tárgyfelelős: Dr. Szirmai Jenő;
Tematika: W. P. Thurston bizonyította, hogy nyolc háromdimenziós, maximális, homogén
Riemann geometria létezik. Az három klasszikus állandó görbületű geometria
(euklideszi, hiperbolikus, szférikus (elliptikus) mellett öt további (Nil,
Sol, S2xR, H2xR, SL(2,R))
létezik. E. Molnár bizonyította, hogy ezek mindegyike modellezhető a
háromdimenziós projektív térben vagy projektív szférán. A hiperbolikus és
elliptikus tér klasszikus projektív modeljeinek áttekintése után a tárgy
keretében megismerjük a további geometriák modeljeit, kiszámítjuk
geodetikusait, transzlációs görbéiket, kiszámítjuk a geodetikus és transzlációs
gömbjeik térfogatát. Vizsgáljuk speciális poliéderek térfogatát. Tárgyaljuk
egybevágósági csoportjaikat, kiemelve a diszkrét egybevágóság-csoportjaikat.
Több geometriánál felsoroljuk kristálycsoportjaikat illetve diszkrét
eltoláscsoportjaikat, rácsaikat, megvizsgáljuk azok osztályozási kérdéseit.
Mindezek az ismeretek lehetőséget adnak érdekes diszkrét geometriai problémák
felvetésére illetve klasszikus euklideszi diszkrét feladatok általánosítására.
Ezek egyikét az euklideszi klasszikus Kepler-sejtés általánosítását további
Thurston geometriákra részletesen is megvizsgáljuk, mert ez a kérdéskör
szorosan kapcsolódik anyagszerkezeti kérdésekhez is.
Irodalom:
E.B. Vinberg (ed): Geometry II, Springer Verlag, 1993.
Thurston, W. P. (and Levy, S. ed.) Three-Dimensional Geometry and Topology, Princeton
University Press, Princeton, New Jersey, 1997.
Komplex algebrai görbék feletti vektornyalábok
Tárgykód: BMETE947208; Követelmény: 2/0/0/V/3;
Tárgyfelelős: Dr. Szabó Szilárd;
Tematika: Algebrai görbe, vektornyaláb, első Chern osztály, koherens kéve,
Cech-kohomológia, görbe neme, Riemann--Hurwitz képlet, Abel--Jacobi leképezés,
Jacobi-varietás, lineáris rendszer, Riemann--Roch képlet, Serre-dualitás.
Csoport-hatás varietásokon, linearizáció, stabilitas, Hilbert--Mumford
kritérium, geometriai invariánselméleti hányados, Marsden--Weinstein- es
Kaehler-hányados, Harder--Narasimhan filtrálás, Yang--Mills elmélet
Riemann-felületen.
Irodalom:
P. Griffiths, J. Harris: Principles of Algebraic Geometry
D. Mumford, J. Fogarty, F. Kirwan: Geometric Invariant Theory
P. Newstead: Introduction to Moduli Problems and Orbit Spaces
Bevezetés a Hodge-elméletbe
Tárgykód: BMETE947209; Követelmény: 2/0/0/V/3;
Tárgyfelelős: Dr. Szabó Szilárd;
Tematika: Vektornyalábok, differenciál-operátorok, elliptikus operátorok kompakt
sokaságok felett, Hodge-izomorfizmus, Kaehler-sokaságok, Kaehler-azonosságok,
Hodge-izomorfizmus és -felbontás, nehéz Lefschetz-tétel, Hodge--Riemann-féle
bilineáris relációk, Froechlicher spektrál-sorozat, Kodaira--Spencer-féle
félig-folytonossági tétel, Hodge-struktúra-változtatások, Gauss--Manin
konnexió, Griffiths-transzverzalitás, infinitezimális változtatások.
Irodalom:
P. Griffiths, J. Harris: Principles of Algebraic Geometry
J.Bertin, J-P. Demailly, L. Illusie, C. Peters: Introduction a la theorie de
Hodge
R. Wells: Differential Analysis on Complex Manifolds
Konvex geometria
Tárgykód: BMETE947206; Követelmény: 2/0/0/V/3;
Tárgyfelelős: Dr. Lángi Zsolt;
Tematika: Konvex halmazok alapvető tulajdonságai. Radon, Carathéodory és Helly tételei.
Euler karakterisztika. Extremális pontok, a Krein-Milman tétel. A Birkhoff
politóp. Konvex kúpok. Topologikus vektorterek. Elválasztási tételek és a
Krein-Milman tétel topologikus vektorterekben. A Ljapunov konvexitási tétel.
Polaritás, dualitás és lineáris programozás: polaritás az euklideszi térben.
Lineáris programozási feladatok és alkalmazásaik: poliedrikus, szemidefinit
lineáris programozás, lineáris programozás. Maximális térfogatú beírt
ellipszoid. Normák. Az ellipszoid módszer. Mérték és távolság az egységgömbön.
Rácsgeometria: rácsok és determinánsuk. Minkowski tétele. Alkalmazás: közelítés
racionális számokkal. A Minkowski--Hlawka tétel. Redukált bázis és a
Lenstra--Lenstra--Lovász algoritmus.
Irodalom:
Alexander Barvinok: A Course in Convexity, Graduate Studies in Mathematics 54,
AMS, Providence RI, USA, 2002.
Kvantum csatornák
Tárgykód: BMETE947210; Követelmény: 2/0/0/V/3;
Tárgyfelelős: Dr. Vrana Péter;
Tematika: Kvantummechanika alapjainak áttekintése, állapotok, obszervábilisek, csatornák,
összetett rendszerek, kvantum-klasszikus rendszerek, mérések. Távolságok az
állapotok és obszervábilisek terén, kontrakciós együtthatók.
Csatorna-félcsoportok. Entrópiák és kölcsönös információ. Kvantum forrás,
zajmentes kódolás. Csatorna klasszikus és kvantum kapacitása, sűrű kódolás.
Lokális operációk összetett rendszereken, összefonódott állapotok és
transzformációik. Heisenberg-kép és végtelen szabadsági fokú rendszerek
alapjai.
Irodalom:
Mark M. Wilde, From Classical to Quantum Shannon Theory, 2012.
Michael M. Wolf, Quantum Channels & Operations – Guided Tour, 2012 .