GEOMETRIA TEMATIKA
(matematikus hallgatóknak 2007 május)

Axiomatikus módszer, euklideszi és hiperbolikus síkgeometria.

-Axiomacsoportok. (Illeszkedési, rendezési, egybevágósági, folytonossági axiómák. Párhuzamossági axióma és Legendre szögtételei.)

-Egyenesek, ciklusok, a hiperbolikus párhuzamosság, a párhuzamossági axióma átfogalmazásai.

-Hiperbolikus síkgeometria modelljei.

Az Euklideszi 3-dimenziós tér.

-Szintetikus felépítés. (Térelemek kölcsönös helyzete, merőlegesség, távolságok-hajlásszögek, irányítás)

-Egybevágóságok mint kollineációk. Tükrözések mint az egybevágóság csoport generátorai. (Hiperbolikus geometriában is!)

- Poincare féltér modell és a hiperbolikus egyenesek kölcsönös helyzete a hiperbolikus térben

-Vektorgeometria. (Lineáris összefüggoség, skaláris szorzat, vektoriális szorzat, vektor felbontása.)

-Koordinátázás. (Többtényezős szorzatok, kifejtési-felcserélési tételek, Lagrange azonosság.)

-Egybevágóságok analitikus kezelése. (Tükrözések, vetítések, vektoriális szorzás fix vektorral, forgatás egyenes körül.)

-Topológikus tér, folytonosság, homeomorfizmus, görbe fogalma. Térelemek analitikus geometriája.

-Homogén koordináták a geometriai transzformációk egyöntetű kezelése. Affinitások, hasonlóságok, egybevágóságok analitikus alakja.

-Poliéder definiálásának lehetőségei.

-Összefüggöség. Egyszerű sokszög, egyszerű poliéder, poliéder felületének egyszeres összefüggősége. Euler tétele. Cauchy poliéder tétele. (Bizonyítás nélkül.)

-Szabályos poliéderek. (Konvex poliéder fogalma, az öt típus realizálása a 3-dimenziós térben.)

Az n-dimenziós euklideszi tér.

-Szerkezete, affin alterek, konvexitás, standard testek (szimplex, kocka, keresztpolitóp).

-Az n-dimenziós szabályos poliéderek osztályozása. (Egy négydimenziós nem triviális példa szabályos testre.)

Kúpszeletek, másodrendű felületek.

-Síkbeli definíciók, kapcsolódó fogalmak, ellenpont, ellenalakzat, érintő.

-Specialitások: Ellipszis affin tulajdonságai, Rytz szerkesztés, parabola meghatározása két pontból és azokban az érintőkből, hiperbola szelőkről szóló tétel, gyorsszerkesztések.

-Térbeli származtatás egy fókusz és vezéregyenes megadásával, Dandelin tételek.

-Másodrendű felületek osztályozása az n-dimenziós térben.

Projektív sík.

-Valós projektív sík. Desargues, Pappos-Pascal, Pascal-Brianchon (bizonyítás nélkül)
A projektív síkgeometria önálló felépítése. (Desargues-i sík, projektív koordinátarendszer )
A kettősviszony. Pappos-Steiner tétel. Szakaszhossz és szögmérték definiálása a hiperbolikus sík modelljeiben.







G.Horváth Ákos

---

This document was translated from L^AT_EX by H^EV^EA.