GEOMETRIA TEMATIKA
(matematikus hallgatóknak 2020 május)

Axiomatikus módszer, euklideszi és hiperbolikus síkgeometria.

-Axiómacsoportok. (Illeszkedési, rendezési, egybevágósági, folytonossági axiómák. Párhuzamossági axióma.)

-Abszolút tételek és Legendre szögtételei.

-Egyenesek, ciklusok, a hiperbolikus párhuzamosság, a párhuzamossági axióma átfogalmazásai.

-Hiperbolikus síkgeometria modelljei.

Az abszolút 3-dimenziós tér.

-Szintetikus felépítés. (Térelemek kölcsönös helyzete, merőlegesség, távolságok-hajlásszögek. Hiperbolikus geometriában is!)

-Egybevágóságok mint kollineációk. Tükrözések mint az egybevágóság csoport generátorai. (Hiperbolikus geometriában is! Osztályozás csak az Euklideszi terekben)

- Poincare féltér modell és a hiperbolikus egyenesek kölcsönös helyzete a hiperbolikus térben. ( Segédlet a kitérő egyenesekhez. )

-Terület, térfogat, az euklidészi illetve hiperbolikus terekben (M.Dehn tétele)

Az euklideszi 3-dimenziós tér.

-Vektorgeometria. (Lineáris összefüggőség, skaláris szorzat, vektoriális szorzat, vektor felbontása.)

-Koordinátázás. (Többtényezős szorzatok, kifejtési-felcserélési tételek, Lagrange és Jacobi azonosságok.)

-Egybevágóságok analitikus kezelése. (Tükrözések, vetítések, vektoriális szorzás fix vektorral, forgatás egyenes körül.)

-Homogén koordináták, a geometriai transzformációk egyöntetű kezelése. Affinitások, hasonlóságok, egybevágóságok analitikus alakja.

-Poliéder definiálása.

-Euler tétele.

-Szabályos poliéderek. (Konvex poliéder fogalma, az öt típus realizálása a 3-dimenziós térben.)

Az n-dimenziós euklideszi tér.

-Szerkezete, affin alterek, konvexitás, standard testek (szimplex, kocka, keresztpolitóp).

-Térelemek analitikus geometriája. Konvex poliéder laphálója.

-Az n-dimenziós szabályos poliéderek osztályozása. (Egy négydimenziós nem triviális példa szabályos testre.)

-Másodrendű felületek osztályozása az n-dimenziós térben, másodrendű görbék típusai. ( Segédlet az osztályozáshoz. )

Projektív sík.

-Valós projektív sík. Desargues, Pappos-Pascal tételek.

-A kettősviszony. Pappos-Steiner tétel.

-Kúpszeletek a valós projektív síkon. Pascal-Brianchon tétel (Segédlet a bizonyításhoz.)

Kúpszeletek az Euklideszi síkon

-Térbeli definició, Dandelon tételek, síkbeli definíciók, alapábrák

-Parabola metrikus tulajdonságai, szerkesztés két érintőből és a rajtuk levő érintési pontokból, gyorsszerkesztés, a parabola mint projektív de nem perspektív pontsorok képződménye.

-Az ellipszis mint kör affin képe.

A dőltbetűvel szedett részek nem lesznek számon kérve a szóbelin, de szóbakerülhetnek a BSc záróvizsgán. (Ajánlott irodalom: Reimann István: A geometria és határterületei. G. Horváth Ákos: Csodálatos geometria)


                        G.Horváth Ákos