GEOMETRIA II
TEMATIKA
(matematikus hallgatóknak 2024 május)
Az abszolút és axiomatikus geometria:
-Axiomatika, az euklideszi geometria axióma rendszerének áttekintése.
-Abszolút lemmák, Legendre tételei.
Hiperbolikus síkgeometria, modellek:
-Egyenesek sugársorai, ciklusok, a hiperbolikus
párhuzamosság, a párhuzamossági axióma átfogalmazásai.
-Hiperbolikus síkgeometria modelljei. (Cayley-Klein modell, Poincare
körmodell) Távolságmérés modellben.
-Poincare féltér modell és a hiperbolikus egyenesek
kölcsönös helyzete a hiperbolikus térben. ( Segédlet a kitérő egyenesekhez. )
A 3-dimenziós (abszolút) tér:
-Szintetikus felépítés. (Térelemek kölcsönös helyzete, merőlegesség,
távolságok-hajlásszögek. Hiperbolikus geometriában is!)
-Egybevágóságok mint kollineációk. Tükrözések, mint az egybevágóság csoport
generátorai. Abszolút alaptételek. Az egybevágóságok típusai.
Transzformációk analitikus kezelése:
-Kollineációk
analitikus kezelése. (Tükrözések, vetítések, vektoriális szorzás fix vektorral,
forgatás egyenes körül.)
-Homogén koordináták, a geometriai transzformációk egyöntetű kezelése. Inverzió
és sztereografikus projekció.
Másodrendű
görbék, kúpszeletek:
-Térbeli definíció,
Dandelin tételei, síkbeli definíciók, fokális
alapábrák.
-Az ellipszis, mint
kör affin képe, Rytz
szerkesztés.
-Parabola metrikus
tulajdonságai, szerkesztés két érintőből és a rajtuk levő
érintési pontokból, gyorsszerkesztés.
-Hiperbola aszimptotái.
Adott ponton átmenő és adott iránnyal párhuzamos érintő.
-Kúpszeletek és
egyenes metszéspontjai.
-Másodrendű felületek osztályozása az n-dimenziós térben, másodrendű görbék típusai. (Segédlet az osztályozáshoz. )
Konvex
poliéderek:
-Poliéder definiálása az n-dimenziós
térben (affin alterek, konvexitás) szimplex, kocka, keresztpolitóp.
-Szabályos poliéderek. (Konvex
poliéder fogalma, az öt típus realizálása a 3-dimenziós térben.)
-Az n-dimenziós szabályos poliéderek osztályozása.
Ajánlott irodalom:
Reimann István: A geometria és határterületei.
G. Horváth Ákos: Csodálatos geometria
G.Horváth Ákos