\documentstyle [12pt]{article}
\overfullrule=0pt
\def\veg{\hfill\break}
%\magnification\magstep1
\makeatletter
\marginparwidth 0pt
\setlength{\oddsidemargin}{ -0.2in }
\setlength{\evensidemargin}{ -0.2in} 
\setlength{\topmargin}{-1cm} 
\setlength{\textwidth}{ 138truemm} 
\setlength{\textheight}{ 215truemm}
\makeatother
\setlength{\parindent}{ 16pt}
\setlength{\parskip}{0pt}
\pagestyle{headings}
\bibliographystyle{plain}

\begin{document}
\noindent
2000.12.17. 
\centerline{\bf {Line\'aris algebra vizsgatematika}}

\noindent
1.Gy\H ur\H uk, kommutat\'\i v, nemkommutat\'\i v, integr\'\i
t\'asi tartom\'any, nulloszt\'ok. P\'eld\'ak.\\
\noindent
2.Testek, rendezett testek, test rendezhet\H os\'ege.
Algebrailag z\'art test. Testek k\"oz\"otti izomorfizmus. Steiniz t\'etele
az algebrai lez\'artr\'ol. Test karakterisztik\'aja. P\'eld\'ak.\\
\noindent
3. Komplex sz\'amok teste, tulajdons\'agai: algebrailag z\'art, \'epp a val\'os
sz\'amtest algebrai lez\'artja, nem rendezhet\H o. Algebra alapt\'etele.
 Komplex sz\'amok algebrai, trigonometrikus \'es
exponenci\'alis alakja. M\H uveletek komplex sz\'amokkal. Gy\"okvon\'as,
 egys\'eggy\"ok\"ok, primit\'\i v egys\'eggy\"ok\"ok, ezek jellemz\'ese.
Egys\'egy\"ok rendje. Egys\'eggy\"ok\"ok \"osszege, szorzata.\\
\noindent
4. Test feletti egyv\'altoz\'os polinomok gy\H ur\H uje.Marad\'ekos oszt\'as
 test feletti polinomokra, polinomoszt\'asi  algoritmus.
Euklideszi algoritmus. Legnagyobb k\"oz\"os oszt\'o 
 el\H o\'all\'\i t\'asa eg\'esz egy\"utthat\'os line\'aris kombin\'aci\'oval.
Polinom gy\"oke. Val\'os \'es komplex egy\"utthat\'os polinomok, val\'os
\'es komplex gy\"okt\'enyez\H os alak.\\
\noindent
5.
Oszthat\'os\'ag integr\'\i t\'asi tartom\'anyban, egys\'eg, irreducibilit\'as,
pr\'\i mtulajdons\'ag.
$C[x], R[x],Z[x],Q[x]$-ben ilyen tulajdons\'ag\'u polinomok. Primit\'\i v
polinom. Primit\'\i v polinomok szorzata primit\'\i v.
Test feletti polinomok egy\'ertelm\H u faktoriz\'ci\'oja.
Z[x]-beli polinomok egy\'ertelm\H u faktoriz\'aci\'oja.
Sch\"onemann-Eisenstein krit\'erium. Ha egy eg\'esz egy\"utthat\'os
primit\'\i v 
polinom irreducibilis a racion\'alis sz\'amtest felett, akkor az irreducibilis
az eg\'esz egy\"utthat\'os polinomok k\"or\'eben is. 
Vi\'eta formul\'ak. Eg\'esz egy\"utthat\'os polinomok eg\'esz gy\"okei.
\\
\noindent
6.Iterpol\'aci\'o(Lagrange, Newton, Hermite). V\'eges test felett minden
 f\"uggv\'eny polinom. T\"obbsz\"or\"os gy\"ok\"ok jellemz\'ese.
Parci\'alis t\"ortekre bont\'as.\\
\noindent
7.M\'asodfoku, harmadfok\'u \'es negyedfok\'u polinomok, Cardano formul\'ak.\\
\noindent
8.Permut\'aci\'ok. T\"obbv\'atoz\'os polinomgy\H ur\H u. Szimmetrikus polinomok
alapt\'etele. Algoritmus szimmetrikus polinomok elemi szimmetrikus polinomokkal
val\'o el\H o\'all\'\i t\'as\'ara.\\
\noindent
9. Test feletti m\'atrixok vektortere. Tov\'abbi m\H uveletek.
 $n\times n$-es m\'atrixgy\H ur\H u. M\'atrixsszorz\'as tulajdons\'agai.
Szorzat transzpon\'atja.
Sor \'es oszlopvektor. Skal\'aris szorz\'as a h\'arom \'es $n$-dimenzi\'os
val\'os t\'erben. Vektori\'alis szorz\'as. Diadikus szorzat.
M\'atrixok alkalmaz\'asai. Nilpotens m\'atrix,  permut\'aci\'os m\'atrix.
Elemi sor \'es oszloptranszform\'aci\'ok m\'atrixszorz\'as seg\'\i ts\'eg\'evel.
\\
\noindent
10. Permut\'aci\'o inverzi\'oi, p\'aros p\'aratlan
 permut\'aci\'ok.Ciklikus \'\i r\'asm\'od. Permut\'aci\'ok szorz\'asa, inverze.
 Permut\'aci\'ok el\H o\'all\'\i t\'asa diszjunkt ciklusok szorzatak\'ent.
Csoport fogalma, $n$-edfok\'u szimmetrikus csoport, abel csoport, $n$-edik
egys\'eggy\"ok\"ok csoportja, ortogon\'alis m\'atrixok csoportja.
 Transzpoz\'\i ci\'o. Minden permut\'aci\'o transzpoz\'\i ci\'ok szorzata.
Ebb\H ol par\'\i t\'as leolvas\'asa. P\'aros hossz\'u 
ciklus p\'aratlan, p\'aratlan
hossz\'u ciklus p\'aros permut\'aci\'o.\\
\noindent
11. Determin\'ansok, k\'etf\'ele defin\'\i ci\'o, ezek ekvivalenci\'aja.
Determin\'ansok alkalmaz\'asai, geometriai tartalma. 
Regul\'aris \'es szingul\'aris m\'atrixok.
 Determin\'ansok alaptulajdons\'agai.
H\'aromsz\"ogm\'atrixok determin\'ansa. Kifejt\'esi t\'etel, ferde kifejt\'es.
Determin\'ans kisz\'am\'\i t\'asa elimin\'aci\'oval. 
Laplace kifejt\'esi t\'etele. Minorm\'atrixok, aldetermin\'ansok,
 sarokaldetermin\'ansok, kieg\'esz\'\i t\H o aldetermin\'ans. Inverz m\'atrix.
Gyors algoritmus m\'atrix inverz\'enek kisz\'am\'\i t\'as\'ara.
Determin\'ansok szorz\'ast\'etele.
Szorzat inverze. Vandermonde-determin\'ans.\\
\noindent
12.$2\times 2$ hiperm\'atrix determin\'ansa \'es inverze.
\\
\noindent
13. Vektort\'er (line\'aris t\'er) $F$ test felett, p\'eld\'ak. Line\'aris
 kombin\'aci\'o, vektorok line\'aris f\"uggetlens\'ege, \"osszef\"ugg\H os\'ege.
 Gener\'atorrendszer,
 b\'azis. Vektort\'er dimenzi\'oja. Kicser\'el\'esi t\'etel.\\
\noindent
14. Test feletti m\'atrixok oszlopvektorai tere. M\'atrix rangja, ekvivalens
 alakjai,
 meghat\'aroz\'asa elimin\'aci\'oval 
\'es minim\'alis sz\'am\'u di\'ad \"osszeg\'ere val\'o bont\'assal.
\"Osszeg \'es szorzatm\'atrix rangja. M\'atrix rangja \'epp a m\'atrixszal
val\'o szorz\'asn\'al a k\'ept\'er dimenzi\'oja.
Egy n\'egyzetes m\'atrix pontosan akkor regul\'aris, ha sorai f\"uggetlenek.
Egy n\'egyzetes m\'atrix pontosan akkor regul\'aris, ha nem nulloszt\'o.\\
\noindent
15.Line\'aris egyenletrendszer megoldhat\'os\'aga megold\'asok sz\'ama, 
megold\'asok szerkezete. Homog\'en line\'aris egyenletrendszer megold\'asai
vektorteret alkotnak. Rang-null\'\i t\'asi t\'etel. Gauss elimin\'aci\'o.
Cramer szab\'aly.\\
\noindent
16. M\'atrix, line\'aris transzform\'aci\'o saj\'at\'ert\'eke, saj\'atvektora.
Karakterisztikus polinom. M\'atrix nyoma. Tr(AB)=Tr(BA).
Determin\'ans$=$saj\'at\'ert\'ekek szorzata. Nyom$=$saj\'at\'ert\'ekek
\"osszege.\\
\noindent
17.M\'atrixnak, line\'aris transzform\'aci\'onak polinomba val\'o 
behelyettes\'\i t\'ese. Anull\'al\'o polinom, minim\'alpolinom.
Cayley-Hamilton t\'etel. Minim\'alpolinom egy\'ertelm\H us\'ege, gy\"okei.
\\
\noindent
18.M\'atrixf\"uggv\'enyeki, m\'atrixok hasonl\'os\'aga. Hasonl\'o m\'atrixok,
karakterisztikus polinomjai, saj\'at\'ert\'ekei, determin\'ansai, minim\'alpolinomjai
megegyeznek. Line\'aris transzform\'aci\'o k\"ul\"onb\"oz\H o b\'azisbeli
koordin\'atam\'atrixai hasonl\'oak. Jordan-blokk. Jordan-f\'ele norm\'alalak
 l\'etez\'ese \'es egy\'ertelm\H us\'ege. Determin\'anoszt\'ok \'es invari\'ans
 faktorok, ezek invarianci\'aja a hasonl\'os\'agi transzfomr\'aci\'oval
szemben. 
 Jordan blokk determin\'ansoszt\'oi, minim\'alpolinomja.
Jordan-f\'ele norm\'alalak\'u m\'atrix $n-1$-edik determin\'anoszt\'oja,
 minim\'alpolinomja, $n$-edik invari\'ans faktora, ezek egyenl\H os\'ege.
M\'atrix minim\'alpolinomj\'aban az egyes
 saj\'at\'ekekhez tartoz\'o gy\"okt\'enyez\H ok multiplic\'\i t\'asa \'epp
a saj\'at\'ert\'ekhez tartoz\'o maxim\'alis blokkm\'eret.
Jordan blokkok sz\'ama. P\'eld\'ak.Jordan-f\'ele norm\'alalak leolvas\'asa az
 invari\'ans faktorokb\'ol.
Jordan-f\'ele norm\'alalak\'u m\'atrix polinomja, f\"uggv\'enye.
A m\'atrix f\"uggv\'eny\'enek saj\'at\'ert\'ekei. M\'atrixf\"uggv\'eny
el\H o\'all\'\i t\'asa Hermite-f\'ele interpol\'aci\'oval.\\
\noindent
19.Egyszer\H u strukt\'ur\'aj\'u m\'atrixok jellemz\'ese. P\'eld\'ak.\\
\noindent
20.Vektort\'erkonstrukci\'ok: alt\'er, alterek \"osszege, direkt \"osszeg,
direkt szorzat, direkt kieg\'esz\'\i t\H o, faktort\'er, vektorterek
tenzorszorzata, du\'alis t\'er, line\'aris transzform\'aci\'ok vektortere.
Ezek dimenzi\'oi, b\'azis benn\"uk.\\
\noindent
21. Line\'aris oper\'ator, line\'aris transzform\'aci\'o,
 line\'aris funkcion\'al. Vektroterek izomorfizmusa. Line\'aris oper\'atorok
magetere, k\'eptere, rangja null\'\i t\'asa. Azonos v\'eges dimenzi\'os
vektorterek k\"oz\"otti line\'aris oper\'ator pontosan akkor injekt\'\i v, ha
sz\"urjekt\'\i v.\\
\noindent
22. Vektorok adott b\'azisra vonatkoz\'o koordin\'atavektorai.
A koordin\'atavektor tulajdons\'agai. Line\'aris oper\'ator 
koordin\'atam\'atrixa. Line\'aris oper\'ator b\'azison el\H o\'\i rhat\'o.
A koordin\'atam\'atrix tulajdons\'agai. B\'aziscsere transzform\'aci\'o.
Koordin\'atavektor, koordin\'atam\'atrix \'uj b\'azisban.
A b\'aziscsere transzform\'aci\'o m\'atrixa a r\'egi \'es az \'uj
 b\'azisban azonos. G\"orbe, fel\"ulet egyenlete \'uj b\'azisban.
M\'asodrend\H u g\"orb\'ek \'es fel\"uletek egyenlet\'enek kanonikus alakra
 hoz\'asa. G\"orbe ill. fel\"ulet k\'ep\'enek egyenlete. Forgat\'as, 
t\"ukr\"oz\'es, ny\'ujt\'as, vet\'\i t\'es m\'atrixa k\"ul\"onb\"oz\H o
b\'azisokban. B\'aziscsere ill. diadikus m\'odszer.\\
\noindent
23. Line\'aris transzform\'aci\'o invari\'ans altere.P\'eld\'ak:
1 dimenzi\'os invari\'ans alt\'er, saj\'at\'ert\'ekhez tartoz\'o 
saj\'atalt\'er. Alkalmas b\'azisokban invari\'ans alterek t\"ukr\"oz\H od\'ese
a line\'aris transzform\'aci\'o m\'atrix\'an.\\
\noindent
24. Du\'alis t\'er b\'azisa. Line\'aris funkcion\'al koordin\'atam\'atrixa:
sorvektor, amely b\'aziscser\'en\'el kovari\'ansan v\'altozik.
Komponensei \'epp a du\'alis b\'aziselemek egy\"utthat\'oi.
Az eredeti t\'er vektorai kontravari\'ans vektorok. B\'aziscsere eset\'en
a du\'alis b\'azis a b\'aziscseretranszform\'aci\'o m\'atrix\'anak 
transzpon\'altj\'anak inverz\'evel transzform\'al\'odik.
$p$-szeresen kontravari\'ans \'es $q$-szorosan kovari\'ans tenzorok tere.
Koordin\'at\'ainak transzfom\'al\'od\'asa b\'azsicsere eset\'en.
Tenzor m\'asik defin\'\i ci\'oja. P\'eld\'ak: kovari\'ans vektor, kontravari\'ans
vektor, line\'aris transzfom\'aci\'o m\'atrixa sorindexben kontravari\'ans,
oszlopindexben kovari\'ans tenzor. Biline\'aris f\"uggv\'eny m\'atrixa
mindk\'et indexben kovari\'ans tenzor.\\
\noindent
25. Multiline\'aris f\"uggv\'eny, val\'os \'es komplex biline\'aris f\"uggv\'eny.
P\'eld\'ak. Biline\'aris f\"uggv\'eny m\'atrixa. Hermite-f\'ele, szimmetrikus,
szimplektikus biline\'aris f\"uggv\'eny, m\'atrixaik. P\'eld\'ak.
Biline\'aris f\"uggv\'enyhez tartoz\'o kvadratikus alak.
Kvadratikus alakok \'es biline\'aris f\"uggv\'enyek kapcsolata.
Val\'os \'ert\'ek\H u kvadtratikus alak m\'atrixa. Kvadratikus alak jellege.
Definits\'egi krit\'eriumok.\\
\noindent
26. Val\'os \'es komplex euklideszi terek, val\'os \'es komplex
 skal\'aris szorzat. Vektorok norm\'aja, mer\H olegess\'ege, ortonorm\'alt
 vektorrendszer. Gram-Schmidt-f\'ele ortogonaliz\'ai\'o. 
Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenl\H otlens\'eg. Val\'os euklideszi terekben
vektorok sz\"oge. Alt\'er ortogon\'alis kieg\'esz\'\i t\H oje. Euklideszi
terek izomorfizmusa.\\
\noindent
27. Line\'aris transzform\'aci\'ok euklideszi terekben, adjung\'alt
transzform\'aci\'o l\'etez\'ese \'es egy\'etelm\H us\'ege.
 \"Onadjung\'alt, unit\'er, norm\'alis(val\'os, komplex),
 szimmetrikus,
antiszimmetrikus, ferd\'en \"onadjung\'alt, ortogon\'alis transzform\'aci\'ok.
Kapcsolat az ugyanilyen nev\H u m\'atrixokkal.
Invari\'ans alt\'er ortogon\'alis komplementuma az adjung\'alt 
transzform\'aci\'ora invari\'ans. \"Onadjung\'alt transzform\'aci\'o 
saj\'at\'ert\'ekei val\'osak \'es l\'etezik ONB, amely a saj\'atvektoraib\'ol
 \'all. Spektr\'alt\'etel. Val\'os f\H otengelyt\'etel. Kvadratikus alakokra
 vonatkoz\'o f\H otengelyt\'etel. Raleigh elv. Kvadratikus alakok 
tehetetlens\'ege (Sylvester t\'etele).\\
\noindent
28. Unit\'er \'es ortogon\'alis transzform\'aci\'ok alaptulajdons\'agai.
Pol\'aris felbont\'asi t\'etel. Kapcsolat a komplex sz\'amokkal.\\

\end{document}
