Matematika A1
Tantárgyprogram
Tárgykód: TE90AX00
1. félév: 4/2/0/v/6
2005-02-15
Tárgyfelelõs: Petz Dénes, Horváth Miklós
Képzési cél:
A természettudományok, a mûszaki tudományok nyelve a matematika; jelenségeket egzaktul
leírni, feladatokat megoldani csak a matematikai apparátus biztos ismeretében lehet. Ezért
kiemelt fontosságú képzési célunk a hallgatók megismertetése a matematika alapvetõ fogalmaival és technikai eszköztárával.
A képzés elsődleges célja a hallgatók bevezetése az egyváltozós differenciál- és integrálszámítás elméletébe és gyakorlatába. Emellett, mint minden matematikai tárgynak, feladata a matematikának, mint a logikus és rugalmas, lényegmeglátó és problémamegoldó gondolkodási módnak a fejlesztése a hallgatókban. Fontos feladatnak tekintjük a számítógépes feladatmegoldási módszerek oktatását ( a rendelkezésre álló infrastruktúra és anyagi eszközök által adott korlátok között).
Erõfeszítéseket teszünk a képzés modernizálására, a felhasználóbarát, mérnöki gondolkodásmód szerinti tárgyalás bevezetésére. Törekvéseinket jól illusztrálja, hogy az egyik legismertebb tengerentúli kalkuluskönyv magyar fordítását kívánjuk legfõbb oktatási segédanyagként bevezetni a mérnöki matematika-oktatásban.
A tantárgy részletes tematikája:
Valós számok
Komplex algebra
Algebrai, trigonometrikus, exponenciális alak.
Műveletek komplex számokkal. (Összeadás, kivonás, szorzás, osztás, komplex konjugálás, hatványozás).
Vektoralgebra
Sík- és térvektorok, vektorműveletek, koordináta-mentes és koordinátás értelmezés.
Műveleti tulajdonságok. Analitikus geometriai alapfeladatok.
4 óra
Halmazelméleti alapfogalmak
Halmazalgebrai műveletek.
Korlátos számhalmazok maximuma, minimuma; suprémuma, infimuma.
Valós számsorozatok
Valós számsorozat definíciója, jelölése, megadási módjai.
Részsorozat, monoton sorozat, korlátos sorozat értelmezése és tulajdonságai.
Számsorozat határértéke. Konvergens sorozat korlátos.
Konvergencia-vizsgálatot könnyítő néhány tétel.
4 óra
Néhány nevezetes határérték.
Számsorozat sűrűsödési értékei ( torlódási pontjai), és a kapcsolódó fogalmak.
Egyváltozós valós függvények
Valós számhalmazon értelmezett való értékű függvények értelmezése, szemléltetése; műveletek függvények körében. Függvények néhány tulajdonsága (korlátosság, monotonitás, periodikusság, páros-páratlanság, konvexitás-konkávitás).
4 óra
Határérték
Egyváltozós valós függvény határértéke a végesben és a végtelenben. Jobb- és baloldali határérték. Műveletek határértékkel (algebrai műveletek, összetett függvény határértéke).
Néhány nevezetes függvény határérték
4 óra
Pontbeli folytonosság; intervallumbeli folytonosság és egyenletes folytonosság értelmezése.
Jobb- és baloldali folytonosság.
Műveletek folytonos függvényekkel (algebrai műveletek; összetett és inverz függvény folytonossága). Korlátos, zárt intervallumban folytonos függvények néhány tulajdonsága.
Szakadási hely értelmezése, osztályozása (megszüntethető szakadási hely, ugráshely, másodfajú szakadás).
4 óra
Differenciálszámítás
Differenciálhatóság fogalma: pontban, intervallumban.
Jobb- és baloldali differenciálhatóság; differenciálhatóság és folytonosság kapcsolata.
Differenciál fogalma.
Differenciálási szabályok.
4 óra
Differenciálszámítás középértéktételei .
Deriváltfüggvény és tulajdonságai. Magasabbrendű deriváltak értelmezése, szabályai
Elemi függvények és inverzeik értelmezése, fontosabb tulajdonságai és differenciálása
(hatványfüggvény, gyökfüggvény; exponenciális függvény, logaritmusfüggvény; trigonometrikus függvények, arcus függvények; hiperbolikus függvények, area függvények).
4 óra
Differenciálszámítás alkalmazásai.
Határérték meghatározás differenciálható függvények esetén: L’Hospital tétel.
Aszimptota egyenes
Lokális és globális függvényvizsgálat differenciálható függvények esetén (növekedés-csökkenés; konvexitás-konkávitás; inflexió; lokális és abszolút szélsőérték).
4 óra
Szélsőérték keresés. Gyökkeresés Newton-módszerrel.
Paraméter és polárkoordináta.
Síkgörbék paraméteres és polárkoordinátás megadása.
Formális deriváltak kiszámítása számítógéppel.
4 óra
Integrálszámítás
Primitív függvény és határozatlan integrál fogalma és fontosabb tulajdonságai. Primitív függvény keresés néhány egyszerű módja.
Alapintegrálok
4 óra
Határozott integrál
Alapfogalmak. (Felosztás és annak finomítása; alsó, felső közelítő összeg, integrálközelítő összeg).
Határozott integrál definíciója (alsó, felső közelítő összeggel ill. integrálközelítő összeggel).
Folytonos vagy monoton függvény integrálható.
Határozott integrál kiszámítása; Newton-Leibniz tétel.
Határozott integrál néhány tulajdonsága.
4 óra
Határozott integrál középértéktétele.
Az integrálfüggvény fogalma, folytonossága.
Integrálfüggvény és primitív függvény kapcsolata.
Improprius integrálok értelmezése, abszolút és feltételes konvergenciája.
Improprius integrálokra vonatkozó Cauchy-kritérium, majoráns és minoráns kritérium.
Az integrálási szabályok általánosítása improprius integrálokra.
4 óra
Integrálási módszerek
Trigonometrikus függvények szorzatának integrálása.
Parciális integrálás.
Teljes négyzetté való kiegészítéssel alapintegrálokra való visszavezetés.
Racionális törtfüggvények integrálása.
Helyettesítéses integrálás.
4 óra
7. Az integrálszámítás alkalmazásai
Integrálszámítás geometriai alkalmazásai.
Görbe alatti, görbék közti, ill. szektorterület.
Forgástest térfogata. Ívhossz értelmezése és meghatározása. Forgásfelület felszíne. Súlypont.
Trapézformula, Simpson-formula. Határozott integrálok kiszámítása számítógéppel.
4 óra
Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:
Thomas' Calculus, 11th ed. Addison Wesley 2004.(magyar kiadás elõkészületben)
Babcsányi I.-Wettl F. Matematikai feladatgyűjtemény I. Műegyetemi Kiadó 1998.
Leindler László: Analízis, Polygon, 2001.