B1 RÉSZLETES MATEMATIKA TEMATIKA
Villamosmérnök hallgatók részére
Axióma, definíció, tétel fogalma.
Tételek állításának feltételei: szükséges; szükséges és elégséges;
elégséges feltételek.
Néhány bizonyítási módszer (indirekt, indukció).
Binomiális tétel.
Valós számok axiómarendszere.
Egyenlőtlenségek. (Bernoulli-, számtani-mértani-harmonikus közép).
Sík- és térvektorok, vektorműveletek, koordináta-mentes és koordinátás értelmezés.
Műveleti tulajdonságok. Analitikus geometriai alapfeladatok.
Komplex
számok értelmezése ; szemléltetése.
Algebrai, trigonometrikus, exponenciális alak.
Műveletek komplex számokkal. (Összeadás, kivonás, szorzás, osztás, komplex konjugálás, hatványozás, gyökvonás és tulajdonságaik).
Halmaz, halmaz eleme, univerzális halmaz, üres halmaz, részhalmaz, hatványhalmaz értelmezése, jelölése.
Halmazalgebrai műveletek: AÈB; AÇB; ; A\ B; ADB jelentése,
szemléltetése Venn-diagrammal.
Alapvető halmazalgebrai összefüggések és azok duálisai (DeMorgan azonosságok, elnyelési tételek).
Halmazok direkt szorzata.
Korlátos számhalmazok maximuma, minimuma; suprémuma, infimuma.
Valós számsorozat definíciója, jelölése, megadási módjai.
Részsorozat, monoton sorozat, korlátos sorozat értelmezése és
tulajdonságai.
Számsorozat határértéke; határérték *s műveletek
felcser*lhet*s*ge.
Konvergens, divergens sorozatok. Konvergencia-kritériumok.
(Szükséges; szükséges és elégséges; elégséges feltétel).
Konvergencia-vizsgálatot könnyítő néhány tétel. (Rendőrelv;
Stolz-tétel stb.)
Néhány nevezetes határérték.
Számsorozat sűrűsödési értékei; sűrűsödési értékeinek halmaza és annak tulajdonságai.
(sup an, inf an; lim an; lim sup an; lim inf an)
Valós számsor definíciója, megadási módjai.
Részletösszeg; részletösszeg-sorozat határértéke; sorösszeg. Feltételes és abszolút konvergencia. Divergens sorok.
Általános sorok konvergencia kritériumai (szükséges; szükséges és elégséges; elégséges).
Pozitív tagú sorok és konvergencia-kritériumaik. (majoráns, minoráns; hányados-; gyök-kritérium).
Váltakozó előjelű sorok és konvergenciájuk elégséges feltétele: Leibniz-tétel.
Konvergens sorok összegének meghatározása. Hibabecslés.
Sorok műveleti tulajdonságai (tagok sorrendjének megváltoztatása; zárójel-elhagyás, berakás. Riemann-féle átrendezési tétel feltételesen konvergens sorokra).
Algebrai műveletek sorokkal. (Összeadás, kivonás, számmal szorzás, két sor szorzása: négyzetes és Cauchy-szorzás).
Valós számhalmazon értelmezett való értékű függvények értelmezése, szemléltetése; műveletek függvények körében (algebrai műveletek; összetett függvény, inverz függvény). Függvények néhány globális tulajdonsága (korlátosság, monotonitás, periodikusság, páros-páratlanság, konvexitás-konkávitás).
Egyváltozós valós függvény határértéke a végesben és a végtelenben. Jobb- és baloldali határérték. Műveletek határértékkel (algebrai műveletek, összetett függvény határértéke).
Pontbeli folytonosság; intervallumbeli folytonosság és egyenletes folytonosság értelmezése.
Jobb- és bal-oldali folytonosság.
Műveletek folytonos függvényekkel (algebrai műveletek; összetett és inverz-függvény folytonossága). Korlátos, zárt intervallumban folytonos függvények néhány tulajdonsága.
(Weierstrass I. és II.; Bolzano-tétel;
Heine-tétel)
Szakadási hely értelmezése, osztályozása (megszüntethető szakadási hely, ugráshely, másodfajú szakadás).
Differenciálhatóság fogalma: pontban, intervallumban.
Jobb- és baloldali differenciálhatóság; végtelen differenciálhányados értelmezése; differenciálhatóság és folytonosság kapcsolata.
Differenciál fogalma.
Differenciálási szabályok.
Deriváltfüggvény és tulajdonságai. Magasabbrendű
deriváltak értelmezése, szabályai;
Elemi függvények és inverzeik értelmezése, fontosabb tulajdonságai és differenciálása
(hatványfüggvény, gyökfüggvény; exponenciális függvény, logaritmusfüggvény; trigonometrikus függvények, arcus függvények; hiperbolikus függvények, area függvények).
Határérték meghatározás differenciálható függvények esetén: L¢Hospitál-tétel.
Lokális és globális függvényvizsgálat differenciálható függvények esetén (növekedés-csökkenés; konvexitás-konkávitás; inflexió; lokális és abszolút szélsőérték).
Paraméter
és polárkoordináta
Síkgörbék
paraméteres és polárkoordinátás megadása.
Paraméteresen
és polárkoordinátásan adott görbék érintő egyenesének egyenlete.
Primitív függvény és határozatlan integrál fogalma és fontosabb tulajdonságai Primitív függvény keresés néhány egyszerű módja.
Alapfogalmak. (Felosztás és annak
finomítása; alsó, felső közelítő összeg, oszcillációs összeg;
integrálközelítő-összeg és azok tulajdonságai).
Határozott
integrál definíciója (alsó, felső közelítő összeggel) .
Létezésének
szükséges és elégséges feltétele.
(Oszcillációs
összeggel, integrálközelítő összeggel).
Létezésének
elégséges feltételei.
Integrál
mint az integrálközelítő összegek határértéke.
Határozott
integrál kiszámítása; Newton-Leibniz tétel.
Határozott
integrál néhány tulajdonsága.
Határozott
integrál középértéktételei.
Az
integrálfüggvény fogalma, folytonossága, differenciálhatósága.
Integrálfüggvény
és primitív függvény kapcsolata.
Improprius
integrálok értelmezése.
Abszolút
és feltételes konvergenciája.
Improprius
integrálokra vonatkozó Cauchy-kritérium, majoráns és minoráns kritérium.
Az
integrálási szabályok általánosítása improprius integrálokra.
Integrálási
módszerek
Trigonometrikus
függvények szorzatának integrálása.
Parciális
integrálás.
Teljes négyzetté való kiegészítéssel
alapintegrálokra való visszavezetés.
Racionális törtfüggvények integrálása.
Helyettesítéses integrálok.
Integrálszámítás geometriai alkalmazásai. Jordan-féle terület és térfogat értelmezése.
Görbe alatti, görbék közti, ill. szektorterület.
Forgástest térfogata. Ívhossz értelmezése és meghatározása.