Info, Analízis(2)  5. gyakorlat  2006. március

Ami nem fér be, az HF!

1. Hatványsorok (konvergenciatartomány, konvergencia sugár)

1. [figure: Pl.] Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n 2^{n}} (x − 1)^{n}

Megoldás:

Jelenleg: a_{n} = \frac{(−1)^{n}}{n 2^{n}} , x_{0} = 1

lim_{n → ∞} \sqrt[n]{|a_{n}|} = lim_{n → ∞} \sqrt[n]{\frac{|(−1)^{n}|}{n 2^{n}}} = lim_{n → ∞} \frac{1}{\sqrt[n]{n} 2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{R} ⟹ R = 2

x = 3 : ∑^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n · 2^{n}} · 2^{n} = ∑^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n} konvergens (de nem abszolút konvergens)

x = −1 : ∑^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n · 2^{n}} · (−2)^{n} = ∑^{∞} \frac{1}{n} (−1)^{2n} = ∑^{∞} \frac{1}{n} divergens

KT (konvergenciatartomány): (−1, 3]

2. [figure: Pl.]  ∑_{n=1}^{∞} (−1)^{n} \frac{2n + 1}{(2n)!} (x + 7)^{n}  R =?

Megoldás: Jelenleg: a_{n} = (−1)^{n} \frac{2n + 1}{(2n)!} , x_{0} = −7 (ez most nem fontos)

lim_{n → ∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = lim_{n → ∞} \frac{(2n + 3) (2n)!}{(2n + 2)! (2n + 1)} = lim_{n → ∞} \frac{2n + 3}{2n + 1} \frac{1}{(2n + 2)(2n + 1)} = 0

⟹ R = ∞

3. [figure: Pl.]  ∑_{n=1}^{∞} \frac{(n + 2)^{n^{2}}}{(n + 6)^{n^{2}+1}} x^{n}  R =?

Megoldás:

Jelenleg: a_{n} = \frac{(n + 2)^{n^{2}}}{(n + 6)^{n^{2}+1}} , x_{0} = 0

lim_{n → ∞} \sqrt[n]{|a_{n}|} = lim_{n → ∞} (\frac{n + 2}{n + 6})^{n} \frac{1}{\sqrt[n]{n + 6}} = ⋯ = \frac{1}{e^{4}}

⟹ R = e^{4} ,

(mert 1 < \sqrt[n]{n + 6} < \sqrt[n]{7} \sqrt[n]{n} és rendőrelv ⋯)

4. [figure: Pl.]  ∑_{n=1}^{∞} \frac{(n + 1)^{n}}{n!} x^{n}  R =?

Megoldás:

Jelenleg: a_{n} = \frac{(n + 1)^{n}}{n!} , x_{0} = 0

lim_{n → ∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = lim_{n → ∞} \frac{(n + 2)^{n+1} n!}{(n + 1)! (n + 1)^{n}} = lim_{n → ∞} (\frac{n + 2}{n + 1})^{n+1} =

= lim_{n → ∞} \begin{matrix}(1 + \frac{2}{n}) & n \\ (1 + \frac{1}{n}) & n \end{matrix} \frac{1 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{e^{2}}{e} = e

⟹ R = \frac{1}{e}

5. [figure: Pl.] ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{2^{n}} x^{3n} = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{2}{2^{2}} x^{6} + ⋯ R =?

Megoldás: a_{n} = \{ \begin{matrix}0 , & ha n nem osztható 3-mal \\ \frac{n/3}{2^{n/3}} , & ha n osztható 3-mal \end{matrix} Ezért \sqrt[n]{|a_{n}|} = \{ \begin{matrix}0 , & ha n nem osztható 3-mal \\ \sqrt[n]{\frac{n/3}{2^{n/3}}} = \begin{matrix}^{n} & \sqrt{n} \\ \sqrt[n]{3} & \sqrt[3]{2} \end{matrix} , & ha n osztható 3-mal \end{matrix} ⟹ Torlódási pontok: t_{1} = 0 , t_{2} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}

⟹ \overline{lim} \sqrt[n]{|a_{n}|} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{R} ⟶ R = \sqrt[3]{2}

Egy ügyesebb megoldás: u = x^{3} helyettesítéssel egy egyszerűbb feladatra vezetjük vissza.

∑_{n=1}^{∞} b_{n} u^{n} := ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{2^{n}} u^{n}

lim_{n → ∞} \sqrt[n]{|b_{n}|} = lim_{n → ∞} \sqrt[n]{\frac{n}{2^{n}}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{R_{b}} ⟶ R_{b} = 2

Tehát |u| < 2 ⟹ |x|^{3} < 2 ⟹ |x| < \sqrt[3]{2} ⟹ R = \sqrt[3]{2}

6. [figure: Pl.] Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! ∑_{n=1}^{∞} \frac{(2x + 4)^{n}}{n^{2} 3^{n}}

Megoldás:

∑_{n=1}^{∞} \frac{2^{n}}{n^{2} 3^{n}} (x + 2)^{n} , x_{0} = −2.

lim_{n → ∞} \sqrt[n]{|a_{n}|} = lim_{n → ∞} \sqrt[n]{\frac{2^{n}}{n^{2} 3^{n}}} = \frac{2}{3} = \frac{1}{R} ⟹ R = \frac{3}{2}

x = −\frac{7}{2} : ∑^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} : konvergens

x = −\frac{1}{2} : ∑^{∞} \frac{1}{n^{2}} : konvergens Konvergenciatartomány: [−\frac{7}{2}, −\frac{1}{2}] 7. [figure: Pl.] Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! ∑_{n=1}^{∞} \frac{n + 1}{9^{n}} (x − 2)^{2n}

Megoldás: u := (x − 2)^{2} helyettesítéssel a sor alakja: ∑_{n=1}^{∞} \frac{n + 1}{9^{n}} u^{n}

lim_{n → ∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = lim_{n → ∞} \frac{(n + 2) 9^{n}}{9^{n+1} (n + 1)} = ⋯ = \frac{1}{9} ⟹ R_{1} = 9

A végpontokat itt is lehet vizsgálni, de az eredeti sorban is vizsgálhatjuk majd. Most az utóbbi módon járunk el. Tehát

|u| < 9 ⟹ |(x − 2)^{2}| < 9 ⟹ |x − 2| < 3 ⟹ R = 3 (−1 < x < 5) A végpontokban: ∑_{n=1}^{∞} (n + 1) divergens, hiszen nem teljesül a konvergencia szükséges feltétele. Konvergenciatartomány: (−1 , 5)

2. Hatványsorok összegfüggvénye

8. [figure: Pl.] Írja fel az alábbi sor összegfüggvényét! ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n + 1} Megoldás: R = 1 , mert ⋯

f(x) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n + 1} , f(0) = 0 . Ha x ≠ 0 :

f_{1}(x) := x · f(x) = x · ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n + 1} , = ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n+1}}{n + 1}

f′_{1}(x) = \frac{d}{dx} ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n+1}}{n + 1} , |x| < 1 esetén szabad tagonként deriválni:

f′_{1}(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{d}{dx} \frac{x^{n+1}}{n + 1} = ∑_{n=1}^{∞} x^{n} = \frac{x}{1 − x}

f_{1}(x) = ∫_{0}^{x} f′_{1}(x) dx(= f_{1}(x) − f_{1}(0)) = ∫_{0}^{x} \frac{x}{1 − x} dx = − ∫_{0}^{x} \frac{(1 − x) − 1}{1 − x} dx =

= − (x + ln(1 − x))|_{0}^{x} = −x − ln(1 − x)

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{−x − ln(1 − x)}{x} = −1 − \frac{ln(1 − x)}{x} , & ha |x| < 1 , x ≠ 0 \\ 0 , & ha x = 0 \end{matrix}

(Hf.: Tudjuk, hogy f folytonos |x| < 1 -ben. Ellenőrizzük le, hogy igaz-e: lim_{x → 0} = f(0)(= 0) ?)

9. [figure: Pl.] Írja fel az alábbi sor összegfüggvényét! ∑_{n=1}^{∞} \frac{n + 2}{n + 1} x^{n} Megoldás:

R = 1 , mert ⋯

g(x) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{n + 2}{n + 1} x^{n} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(n + 1) + 1}{n + 1} x^{n} =

= ∑_{n=1}^{∞} x^{n} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n + 1} = \frac{x}{1 − x} + f(x) = ⋯ (L. előző példa!)

10. [figure: Pl.] Írja fel az alábbi sor összegfüggvényét! ∑_{n=1}^{∞} (n + 3) x^{n}

Megoldás: R = 1 , mert ⋯

f(x) := ∑_{n=1}^{∞} (n + 3) x^{n} , f_{1}(x) := x^{2} · f(x) = ∑_{n=1}^{∞} (n + 3) x^{n+2} =

= \frac{d}{dx} ∫_{0}^{x} f′_{1}(x) dx = ⋯ = (\frac{x^{4}}{1 − x})′

Stb. (Csak beszéljük meg a lényeget, mert biztosan nem marad idő részletes kidolgozásra.)