Info, Analízis(2)  8. gyakorlat  2006. ápr.3. ill. ápr.12.

1. Fourier sor

1. [figure: Pl.]

f(x) = x , ha 0 < x ≤ 2π és f(x + 2kπ) = f(x) (k ∈ ℤ)

a) Határozza meg f Fourier sorát! Jelölje a Fourier sor összegfüggvényét ϕ(x) ! f(x) = ϕ(x) milyen x -ekre igaz? Egyenletesen konvergens-e a Fourier sor?

b) A Fourier sor segítségével határozza meg a ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2k + 1} numerikus sor összegét!

Megoldás:

a) Rajzoljuk fel a függvényt! (Én nem tudom, de majd talán segít nekem Temesi Róbert.)

Ha f 2π szerint periodikus és f ∈ R_{[0,2π]}, akkor f Fourier sora

\frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{∞} (a_{k} cos kx + b_{k} sin kx),

ahol

a_{k} = \frac{1}{π} ∫_{a}^{a+2π}f(x) cos kx dx , k = 0, 1, 2, …

b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{a}^{a+2π}f(x) sin kx dx , k = 1, 2, …

a_{k}, b_{k} neve: Fourier együtthatók. Itt a ∈ ℝ tetszőleges. Most a = 0 választás célszerű.

a_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) cos kx dx ; b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) sin kx dx

a_{0} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} x dx = ⋯ = 2 π

a_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} \underbrace{x}_{u} \underbrace{cos kx}_{v′} dx = ⋯ = 0

b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} \underbrace{x}_{u} \underbrace{sin kx}_{v′} dx = ⋯ = −\frac{2}{k}

ϕ(x) = π − 2 ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin kx}{k}

Dirichlet tétele alapján: f(x) = ϕ(x) , ha x ≠ 2kπ és ϕ(2kπ) = π .

A konvergencia nem egyenletes, mert bár az f_{n} függvények folytonosak, de az összegfüggvény (ϕ) nem folytonos.

b) ϕ (\frac{π}{2} ) = f (\frac{π}{2} ) = \frac{π}{2} alapján:

\frac{π}{2} = π − 2 ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin k \frac{π}{2}}{k}

\frac{π}{2} = π − 2 (1 + 0 − \frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{5} + 0 − \frac{1}{7} + ⋯)

\frac{π}{2} = π − 2 ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2k + 1} ⟹ ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2k + 1} = \frac{π}{4}

[figure: M] A Fourier sort ügyesebben is felírhattuk volna az alábbi ötlettel:

g(x) := f(x) − π Ez már páratlan függvény, így rövidebb a megoldás. (Ábrán mutassuk meg, hogy f(x) = π + g(x) !)

Többváltozós függvények

Ábrázolással csak előadáson foglalkozunk. Ha valakinek marad gyakorlaton ideje, akkor szabad csinálni példát, de az

ax + by + cz = d

z = x^{2} + y^{2} ; z = −x^{2} − y^{2} ; z = 6 + x^{2} + y^{2} ; z = 6 − x^{2} − y^{2}

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} ; z^{2} = x^{2} + y^{2}

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2} ; z = \sqrt{R^{2} − x^{2} − y^{2}} ; \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

z = xy; z = y^{2} − x^{2} felületek előadáson szerepeltek.

2. Határértékszámítás

2. [figure: Pl.]  lim_{(x,y)→(2,1)} \frac{e^{x^{2}−3y}}{1 + 2x^{2} + 3y^{2}} = ?

Megoldás: f folytonos mindenütt, így a határérték mindenütt a helyettesítési érték:

⟹ lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{e^{x^{2}−3y}}{1 + 2x^{2} + 3y^{2}} = f(2, 1) = \frac{e}{12}

3. [figure: Pl.]  lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{sin (x^{2} y)}{x^{2} cos y^{2}} = ?

Megoldás:

lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{sin (x^{2} y)}{x^{2} cos y^{2}} = lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{sin (x^{2} y)}{x^{2}y} \frac{y}{cos y^{2}} = 1 · \frac{0}{1} = 0

4. [figure: Pl.] Hol folytonos az alábbi függvény? f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{3x^{2}y^{2}}{4x^{4} + 7y^{4}} , & ha (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 , & ha (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

Megoldás: Ha (x, y) ≠ (0, 0) , akkor a függvény folytonos, mert folytonos függvények összetétele. Vizsgálandó a lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) határérték! Az y = mx egyenesek mentén:

lim_{x→0} f(x, mx) = lim_{x→0} \frac{3m^{2}x^{4}}{4x^{4} + 7m^{4}x^{4}} = \frac{3m^{2}}{4 + 7m^{4}} függ m -től

⟹ ∄ a határérték. Így a függvény az origóban nem folytonos.

5. [figure: Pl.] lim_{(x,y) → (0,0)} \frac{3 x y^{3}}{2x^{2} + 2y^{2}} = ?

Megoldás: x_{n} = ϱ_{n} cos φ_{n} , y_{n} = ϱ_{n} sin φ_{n} , φ_{n} tetsz., ϱ_{n} → 0 egy tetszőleges (0, 0) -hoz tartó pontsorozat. E mentén vizsgáljuk f(x_{n}, y_{n}) konvergenciáját:

lim \begin{matrix}ϱ_{n} → 0 \\ φ_{n} tetsz. \end{matrix} \frac{3ϱ_{n}^{4} cos φ_{n} sin^{3} φ_{n}}{2ϱ_{n}^{2}} = lim \begin{matrix}ϱ_{n} → 0 \\ φ_{n} tetsz. \end{matrix} 2 ; ϱ_{n} ; \begin{matrix}↓ \\ 0 \end{matrix} \underbrace{\frac{3}{2} cos φ_{n} sin^{3} φ_{n}}_{korlátos} = 0

Tehát a keresett határérték 0 .

6. [figure: Pl.] lim_{(x,y) → (0,0)} \frac{3x^{2} + 5y^{2}}{2x^{2} + y^{2}} = ?

Megoldás: Koordinátánkénti (másszóval iterált) limeszekkel dolgozunk:

lim_{x→0} lim_{y→0} \frac{3x^{2} + 5y^{2}}{2x^{2} + y^{2}} = lim_{x→0} \frac{3x^{2}}{2x^{2}} = \frac{3}{2}

lim_{y→0} lim_{x→0} \frac{3x^{2} + 5y^{2}}{2x^{2} + y^{2}} = lim_{y→0} \frac{5y^{2}}{y^{2}} = 5 ≠ \frac{3}{2}

Tehát a keresett határérték nem létezik.

3. Parciális deriváltak, totális deriválhatóság

7. [figure: Pl.]  f(x, y) = (2x − y)^{4} + 4x^{3} − 8y^{2} a) f′_{x}(x, y) = ? ; f′_{y}(x, y) = ? b) Hol deriválható (totálisan) a függvény? (Indokoljon!) gradf(1, 2) = ? c) Számítsa ki a másodrendű parciális deriváltfüggvényeket!

Megoldás:

a) f′_{x}(x, y) = 4 (2x − y)^{3} · 2 + 12 x^{2} , f′_{y}(x, y) = 4 (2x − y)^{3} · (−1) − 16 y b) Mivel a parciálisok mindenütt folytonosak, a függvény mindenütt totálisan de-

riválható (létezik mindenütt a gradiens).

gradf(1, 2) = f′_{x}(1, 2) \underline{i} + f′_{y}(1, 2) \underline{j} = 12 \underline{i} − 32 \underline{j}

c) f′′_{xx} = 8 · 3 (2x − y)^{2} · 2 + 24 x^{2}

f′′_{xy} = f′′_{yx} = 8 · 3 (2x − y)^{2} · (−1)

f′′_{yy} = −4 · 3 (2x − y)^{2} · (−1) − 16

8. [figure: Pl.]  f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{(x − 2) y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + 6x + 3y , & ha (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 , & ha (x, y) = (0, 0) \end{matrix} a) f′_{x}(x, y) = ? ; f′_{y}(x, y) = ? b) Hol differenciálható f ?

Megoldás:

a) Ha (x, y) ≠ (0, 0) : f′_{x}(x, y) = \frac{y^{2} (x^{2} + y^{2}) − (x − 2) y^{2} 2x}{(x^{2} + y^{2})^{2}} + 6

Ha (x, y) = (0, 0) , akkor a definícióval kell dolgozni:

f′_{x}(0, 0) = lim_{h → 0} \frac{f(h, 0) − f(0, 0)}{h} = lim_{h → 0} \frac{6h − 0}{h} = 6

Ha (x, y) ≠ (0, 0) : f′_{y}(x, y) = \frac{(x − 2) 2y (x^{2} + y^{2}) − (x − 2) y^{2} 2y}{(x^{2} + y^{2})^{2}} + 3

Ha (x, y) = (0, 0) , akkor most is a definícióval kell dolgozni:

f′_{y}(0, 0) = lim_{k → 0} \frac{f(0, k) − f(0, 0)}{k} = lim_{k → 0} \frac{\frac{−2k^{2}}{k^{2}} + 3k − 0}{k} = lim_{k → 0} (−\frac{2}{k} + 3) ∄

b) Az origóban nem deriválható totálisan a függvény, mert f′_{y}(0, 0) ∄ . (Egyébként nem is folytonos itt, tehát ezért sem deriválható.) Másutt deriválható, mert a parciálisok léteznek és folytonosak.

Ha valakinek maradna ideje (???), akkor csináljon hasonló példákat! Én is adok néhányat, de más is lehet.

[figure: Pl.]

lim_{(x,y)→(0,0)} (3x^{2} + 4y^{2}) arctg \frac{x}{y} = ?

(0 · korkátos ⟶ 0)

[figure: Pl.]

f(x, y, z) = e^{x^{2}+2y} + sin (x z) , gradf = ? Miért létezik?

[figure: Pl.]

f(x, y) = arctg (x^{2} + y^{4} + 1) , gradf(0, 1) = ? Miért létezik?

[figure: Pl.]

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{y^{2}}{x^{2} + 2y^{2}} , & ha (x, y) ≠ (0, 0) \\ 1 , & ha (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

a) f′_{x}(x, y) = ? ; f′_{y}(x, y) = ?

b) Hol differenciálható f ?