Numerikus módszerek tételsor

1. Abszolút és relatív hiba fogalma, viszonya az alapműveletekhez. Kiegyszerűsödés, numerikusan “veszélyes” műveletek. Képlethiba, öröklött hiba. Numerikus stabilitás.
2. Gauss elimináció, a főelemkiválasztás jelentősége. Műveletigénye általános mátrixra, háromszög- és tridiagonális mátrixra. Indukált mátrixnorma fogalma, ||A||¥ és ||A||₂. Kondíciószám, összefüggése az egyenletrendszer megoldásának stabilitásával.
   LU-felbontás: létezésének feltétele, haszna. PLU-felbontás.
3. Lineáris vektroiteráció konvergencia-feltétele, a konvergencia sebessége. Jacobi iteráció képlete (biz), a konvergencia elégséges feltétele. Gauss-Seidel iteráció alapgondolata, formulája (biz). Szukcesszív túlrelaxszálás alapgondolata, a konvergencia elégséges feltétele.
4. A gradiens-módszer alapja: tétel az ellipszoidok és lináris egyenletrendszer megoldásának kapcsolatáról (biz). A konvergencia elégséges feltétele, gyorsaságának függése az ellipszoidtól. Konjugált gradiens-módszer alapgondolata; az Ax^(k)-b vektorok merőlegessége, ennek következménye.
5. Gersgorin tételei (az első biz). Hatványiteráció: képletei, a konvergencia feltétele, sebessége. A konvergencia gyorsítása: D²-módszer, Rayleigh-féle hányados-módszer, inverz itaráció képletei, gyorsulás mértéke. Defláció: rangszámcsökkentés, ill. a mátrix méretének csökkentése útján (formulák nélkül).
6. Az összes sajátértéket egyszerre közelítő eljárások. Diagonalizálás otrogonális mátrixszal. Jacobi, Givens és Householder módszerének alapgondolata (képletek nélkül). Tétel a QR-felbontásról. A QR-transzformáció képletei, műveletigénye általában és Hessenberg-mátrix esetén. A konvergencia definíciója, feltétele.
7. Lagrange interpolációs polinom egyértelmű létezése (biz), interpolációs alappolinomok, képlethiba és öröklött hiba becslése (biz). A polinomokkal való legjobb közelítés E_n(f) becslése sima függvényekre. Az interpoláció képlethiba-becslése E_m(f) segítségével (biz). A Csebisev-alappontokon való interpoláció optimális tulajdonságai. Hermite interpolációs polinom egyértelmű létezése. A spline-interpoláció szélsőértékkel való értelmezése, fizikai interpretációja, numerikus kezelésének elvi kérdései (formulák nélkül), műveletigény, képlethiba.
8. Trigonomertikus interpolációs polinom, egyértelmű létezése. Kapcsolat a polinom együtthatói és a Fourier-együtthatók között. Képlethiba becslés sima ill. analitikus függvény esetén. Gyors Fourier-transzformáció alapgondolata, műveletigénye.
9. Felezéses módszer, hibabecslése. Húr- és érintőmódszer alapgondolata, hibabecslés, a divergencia lehetősége. Newton-módszer képlete, a hibacsökkenés rendje. Az x_n+1=f(x_n) fixpontkereséses iteráció konvergencia-feltétele, gyorsasága, a D² gyorsító eljárás képlete, az így elérhető konvergencia-javulás. Az f(x,y)=0, g(x,y)=0 egyenletrendszer megoldására szolgáló Newton-módszer, konvergenciassebesség.
10. Kvadratúra fogalma. Pólya-Sztyeklov tétel (biz), következményei a P_n-en pontos kvadratúrákra. A P_n-en pontos kvadratúrák jellemzése (biz). Gauss-kvadratúra fogalma, tulajdonságai, képlet- és öröklött hibája. Trapéz-, érintő- és Simpson-formula, képlethiba nagyságrendje, öröklött hiba. A Romberg táblázatot előállító képletek, konvergencia-sebesség sima függvényekre, sima periodikus függvényekre.
11. Egylépéses módszer fogalma, rendje, lokális és globális hibája, az ezek közti kapcsolat. Euler- és implicit Euler-módszer formulája, rendje. Runge-Kutta módszerek alapgondolata; kapcsolata a kvadratúrákkal.
12. Lineáris többlépéses módszer általános alakja, a hozzá rendelt L és L^* funkcionál, a módszer rendjének megállapítása a funkcionál segítségével. Adams-féle explicit és implicit módszerek előállításának alapgondolata. Adams-Moulton módszerek (formulák nélkül). Stabilitás fogalma, ellenőrzésének módja; Dahlquist tétele. Finomabb stabilitás-vizsgálat az y’=Ay egyenletre való alkalmazással.
13. Tüzérmódszer elvi alapja, kivitelezése lineáris másodrendű egyenletre. Véges differenciák módszere. Spline-módszer alapgondolata. Ritz-módszer alapgondolata (vázlatosan). Parciális differenciálegyenletek: a Poisson-egyenlet, a hullámegyenlet és a hõvezetési egyenlet egy-egy megoldási módszere (vázlatosan).