Elektromágneses terek házi feladat megoldó program
Balázs Gergely György (G69VD5)
Villamosméröki  kar V.év

1. Bevezető

A Villamosmérnöki Karon az alapképzés során mindenkinek teljesíteni kell az Elektromágneses terek tárgyat, melynek követelményei az alábbiak: a félév során egy nagyzárthelyit kell írni és a tanszék által adott házi feladatot kell megoldani. A félévi jegy megszerzéséhez vizsgát kell tenni. Az aláírás kritériuma, hogy a hallgató megoldja a számára kiírt házi feladatot. A program, amelyet Mathematica programban írtam, az EMT házifeladat megoldásához ad segítséget. A feladatban távvezeték paramétereit, különböző gerjesztésekre adott válaszait kell meghatározni. A feladatlapot az alábbi weboldalról lehet letölteni: www.evtsz.bme.hu/index.html.hu

A program most az általam megoldott házi feladat adataival dolgozik, de bármelyik másik feladatot is meg tudja oldani (kivéve: Lecher-vezetékre, illetve a 3.2-es feladat). A paraméterek megváltoztatása után a Shift+Enter billentyűkombinációt kell lenyomni a számítások elvégeztetéséhez. Ezt mindig el kell végezni, ha paramétereket változtatunk, és minden számítási lépésnél! Ügyelni kell a mértékegységekre is, hogy megfelelő paramétereket helyettesítsünk be!

2. Az 1. feladat megoldása.

a.) Elméleti áttekintés:

A távvezeték az elosztott paraméterű hálózatok egy tipikus képviselője. A távvezeték többnyire két párhuzamos körkeresztmetszetű vezetékből áll (Lecher-vezeték, távíró vezeték), vagy koaxiális elrendezésű. 

z-tengelyt a vezeték irányában vesszük fel, általában a z = 0 helyen van a generátor, a távvezeték z = h helyén, azaz a végén pedig a fogyasztó. Koncentrált paraméterű hálózatnak azt nevezzük, amikor külön térrészben koncentráltan képzeljük a tárolt elektromos energiát (kondenzátor), a tárolt mágneses energiát (tekercs), a fogyasztott és a keletkező energiát (ellenállás, források). Ezzel szemben elosztott paraméterű hálózatoknak azt nevezzük, amikor ez a szétválasztás nem lehetséges, vagy nem célszerű, mivel minden pontban elektromos és mágneses energia van tárolva és energiaátalakulás is bekövetkezik. A legegyszerűbb esetben van egy kitüntetett irány, amely mentén a feszültség és az áram változik, a teljesítmény terjed, ez az irány a z-tengely. Az elosztott paraméterű hálózat alapegyenleteinek előállítására használható áttekinthető eljárás:
- az elrendezés egy differenciálisan rövid szakaszát koncentrált paraméterű kétkapuként kezeljük
- a távvezeték paramétereit hosszegységre vonatkoztatjuk: L’=L/h [H/m], R’=R/h [Ω/m], C’=C/h [F/m] és G’=G/h [S/m]

A vezetékparamétereket az alábbi összefüggések alapján határozhatjuk meg:
Koaxiális kábel esetén: 
R' = ρ  (1/(((Subscript[r, 1])^2) π)) + ρ 
               (1/((((Subscript[r, 3])^2) - ((Subscript[r, 2])^2)) π));  
        L' = ((Subscript[μ, 0])/(2  π)) (Log[((Subscript[r, 2])/(Subscript[r, 1]))] + (1/4)); G'=((2  πσ)/Log)[((Subscript[r, 1])/(Subscript[r, 2]))]; C' = ((2  π (Subscript[ϵ, 0]) (Subscript[ϵ, r]))/Log)[((Subscript[r, 2])/(Subscript[r, 1]))]
Lecher-vezeték esetén:
R' = 2  ρ  (1/(((Subscript[r, 0])^2) π));  L' = 
        2  (μ/(8  π)) + 
          2  ((Subscript[μ, 0])/(2  π)) Log[(d/(Subscript[r, 0]))]; G'=π(σ/Log)[(d/(Subscript[r, 0]))]; C' = ((π (Subscript[ϵ, 0]) (Subscript[ϵ, r]))/Log)[(d/(Subscript[r, 0]))] 
Ha felírjuk a dz hosszúságú szakaszra a Kirchoff-egyenleteket, majd rendezés után a távíró egyenleteket kapjuk:
-∂ (u/∂) z=L'(( ∂ i)/∂) t+R' i 	 -∂ (i/∂) z=C'(( ∂ u)/∂) t+G' u 

Szinuszos állandósult állapot esetén a távíróegyenlet alakja (Helmholz egyenlet):
(((d^2) U)/(d (z^2)))-(γ^2)U=0,	ahol γ = (Sqrt[(R' + jωL') (G' + jωC')])a terjedési együttható, melynek valós része: α a csillapítási tényező, képzetes része: β a fázistényező
Ez egy közönséges másodrendű differenciálegyenlet két sajátértéke: +γ, -γ
Az általános megoldás: U(z)=((Subscript[U, 1])^(+ ))(e^(-γz))+\(TraditionalForm\`\(U\_1\^-\)\)(e^γ)z
Ha bevezetjük a \(TraditionalForm\`Z\_0 = \@\(\(R' + j\ ω\ L'\)\/\(G' + j\ ω\ C'\)\)\)hullámimpedanciát, akkor az áramfüggvény általános alakjához jutunk:
I(z)=(((Subscript[U, 1])^(+ ))/(Subscript[Z, 0]))(e^(-γz))+\(TraditionalForm\`\(U\_1\^-\)\/Z\_0\)(e^γ)z
Λ-val a hullámhosszt jelöljök. 

A kétkapukat különböző karakterisztikákkal is le lehet írni, nézzük a távvezeték lánckarakterisztikáját, ahol (Subscript[U, 1]),(Subscript[I, 1])  a generátor oldali feszültség, és áram; míg (Subscript[U, 2]), (Subscript[I, 2]) a fogyasztó oldali feszültség és áram, g pedig az átvitelt jelöli (g = γ l):
(Subscript[U, 1]) = Cosh[g] (Subscript[U, 2]) + (Subscript[Z, 0]) Sinh[g] 
              (Subscript[I, 2])  = (Subscript[A, 11]) (Subscript[U, 2]) + (Subscript[A, 12]) (Subscript[I, 2])
(Subscript[I, 1]) =  Sinh[g]/(Subscript[Z, 0])(Subscript[U, 2]) + 
          Cosh[g ] (Subscript[I, 1]) = (Subscript[A, 21]) (Subscript[U, 2]) + (Subscript[A, 22]) (Subscript[I, 2])

Helyettesítő kapcsolásokat is gyakran alkalmazunk. A feladatban a T kapcsolás (Subscript[Z, a])és (Subscript[Z, b])paramétereit számoljuk ki:

Show[Graphics[Line[{{1, 2}, {-3, 4}, {5, 6}}]]]

b.) 1.1. feladat megoldása.

A vezeték paraméterei:

(Subscript[d, 1]) = 0.8;
(Subscript[d, 2]) = 2.2;
(Subscript[d, 3]) = 2.4;
(Subscript[ϵ, r]) = 2.5;
σ = 57000000;
(Subscript[μ, 0]) = 4  π*(10^(-7));
(Subscript[ϵ, 0]) = 8.854*(10^(-12));
(Subscript[r, 1]) = ((Subscript[d, 1])/2)*(10^(-3));
(Subscript[r, 2]) = ((Subscript[d, 2])/2)*(10^(-3));
(Subscript[r, 3]) = ((Subscript[d, 3])/2)*(10^(-3));

Ezekből az adatokból kiszámoljuk a távvezeték fajlagos ellenállását  ρ=(1/σ) [Ωm]:

ρ = N[(1/σ)]

Majd az elméleti összefoglalóban leírt egyenletekkel meghatározzuk a vezetékparaméterek egyenáramú értékét:

R = 
      N[ρ  (1/(((Subscript[r, 1])^2) π)) + ρ 
             (1/((((Subscript[r, 3])^2) - ((Subscript[r, 2])^2)) π))]

L = ((Subscript[μ, 0])/(2  π)) (Log[((Subscript[r, 2])/(Subscript[r, 1]))] + (1/4))

G = 0;

c = ((2  π (Subscript[ϵ, 0]) (Subscript[ϵ, r]))/Log)[((Subscript[r, 2])/(Subscript[r, 1]))]

c.) Az 1.2. feladat megoldása.

Három frekvencián [Hz] kell az α, β, (Subscript[Z, 0]), és Λ paramétereket meghatározni, az elméleti összefoglalóban leírt egyenletek alapján.

(Subscript[f, 1]) = 50;
(Subscript[f, 2]) = 
        14*(10^3);
(Subscript[f, 3]) = 16*(10^6); 
F = {(Subscript[f, 1]), (Subscript[f, 2]), 
          (Subscript[f, 3]) };
ω = 
        N[2  π*
            F] ;
γ = (Sqrt[(R + I*ω*L)*(G + I*ω*c)]);
α = Re[γ]; 
β = 
        Im[γ];
Λ = ((2  π)/β);
(Subscript[Z, 0]) = (Sqrt[((R + I*ω*L)/(G + I*ω*c))]);
TableForm[{{"ω [(1/s)]","α [(1/m)]","β [(1/m)]","(Subscript[Z, 0]) [Ω]"},
{ω[[1]], α[[1]], β[[1]], (Subscript[Z, 0])[[1]]},
{ω[[2]], α[[2]], β[[2]], (Subscript[Z, 0])[[2]]},
{ω[[3]], α[[3]], β[[3]], (Subscript[Z, 0])[[3]]}},
TableHeadings  ->  {{" f \
értékek [Hz]",  F[[1]], F[[2]],  F[[3]]},  
            None},
TableAlignments ->  Center]

d.) Az 1.3. feladat megoldása.

Az l [m] hosszúságú vezeték szakasz lánc paramétereit számítjuk ki.

l = 140; 
(Subscript[f, 4]) = (Subscript[f, 3]);
ω = 2  π (Subscript[f, 4]);
γ = (Sqrt[(R + I*ω*L)*(G + I*ω*c)]);
(Subscript[Z, 0]) = (Sqrt[((R + I*ω*L)/(G + I*ω*c))]);
A = {{Cosh[γ l], 
            (Subscript[Z, 0]) Sinh[γ l]}, 
{Sinh[γ l]/(Subscript[Z, 0]), Cosh[γ l]}}; 
\(\*""\!\(A\&_\)="" MatrixForm[A]\)
\(TableForm[{{A[\([1, 1]\)]}, {A[\([1, 2]\)]}, {A[\([2, 
              1]\)]}}, 
TableHeadings\  -> \ {{\*"" (Subscript[A, 11])"", \ \*""(Subscript[A, 12]) [Ω]"", \*""(Subscript[A, 21]) [(1/Ω)]""}, 
          None}, 
TableAlignments -> \ 
        Left]\)

A távvezeték T helyettesítő kapcsolásának (Subscript[Z, a]) [Ω] és (Subscript[Z, b]) [Ω] paramétereit számítjuk.

(Subscript[Z, b]) = (1/A)[[2, 1]]; 
(Subscript[Z, a]) = (Subscript[Z, b]) (Cosh[γ l] - 1)

(Subscript[Z, b])

3. A 2. feladat megoldása.

a.) Elméleti áttekintés.

A távvezeték végénél fellépnek olyan hullámok, amelyek a lezárás felé haladnak (\(\(U\_2\^+\), \(I\_2\^+\)\)), illetve olyanok, amelyek visszaverődnek (\(\(\(\ \)\(\(U\_2\^-\), \(I\_2\^-\)\)\)\)) 
Definíció szerint a reflexiós tényező a visszavert és a beeső feszültséghullámnak a vezeték végén fellépő amlitúdójának viszonya: r=\(TraditionalForm\`\(U\_2\^+\)\/\(U\_2\^-\)\)
Egy másik definíciója: r = (((Subscript[Z, 2]) - (Subscript[Z, 0]))/((Subscript[Z, 2]) + (Subscript[Z, 0]))), ahol (Subscript[Z, 2])a távvezetéket lezáró impedancia.
Definíció szerint a távvezeték bemeneti impedanciája ((Subscript[Z, b])) a vezeték teljes feszültségének és áramának a hányadosa. Ebből belátható, hogy \(Z\_b = \(Z\_0\) \(\(Z\_2\) Cosh[γ\ l] + \(Z\_0\) Sinh[γ\ l]\)\/\(\(Z\_2\) Sinh[γ\ l] + \(Z\_0\) Cosh[γ\ l]\)\)
A látszólagos teljesítmény az ismert összefüggésből adódik, mivel csúcsértékeket helyettesítünk be, ezért kell 2-szer (Sqrt[2])-vel osztani. Így S=(1/2)UI*  A hatásos teljesítmény a látszólagos valós része, míg a meddő teljesítmény annak képzetes része.
Az állóhullámarány: σ=\(TraditionalForm\`\(\(|\)\(U\)\( | \_max\)\)\/\(\(|\)\(U\)\( | \_min\)\) = \(\(\(1\)\(-\)\) | r | \)\/\(\(\(1\)\(+\)\) | r | \)\)

Ahhoz hogy ki tudjuk számítani a keresett paramétereket a programba be kell írni, hogy a bemeneti kapcsokhoz milyen kétpólus csatlakozik, és azt, hogy milyen a lezáró kétpólus. 
(A program az áram és a feszültség időfüggvényeket egyaránt kiszámítja, függetlenül attól, hogy mi volt a feladatban meghatározva.)

\(Ha\ a\ bemeneti\ \(kapcsokhoz : 
a . \ 
                    feszültségforrás\ és\ soros\ R\_1\ kapcsolódik\) -> be = 0\)
	\(b . \ áramforrás\ és\ párhuzamos\ R\_1\ kapcsolódik\  -> be = 1\)

\(Ha\ a\ lezáró\ \(kétpólus : 
soros\ RL\) -> lk = 11\)
	soros RC -> lk = 12
	párhuzamos RL -> lk = 21
	párhuzamos RC -> lk = 22
Kérem válasszon!

be = 1;
lk = 12;

b.) A 2.1. feladat megoldása

A vezetéken lévő feszültség vagy áram időfüggvényeit kell meghatározni a z/l helyen. A paraméterek:

l = 27; 
(Subscript[Z, 0]) = 75;
\(I\&^ = 7.5; \ U\&^ = 0;\)
f = 43*(10^6);
R1 = 45;
R = 60;
L = 0;
c = 60*(10^(-12));
z = 0.7 * l;
ω = 2  π f; v = 3*(10^8);

Először a lezáró kétpólus impedanciáját határozzuk meg: (Subscript[Z, 2])[Ω] Ha véletlenül rossz kódot adtunk meg  a lezáró impedanciának, akkor azt a program jelzi.

\(\(\(If[lk == 11, \ 
      Z\_2 = N[R + I*ω*L], \ 
	
      If[lk == 12, \ 
        Z\_2 = N[R + 1\/\(I*ω\ *c\)], 
		If[
          lk == 21, \ 
          Z\_2 = N[\(R*I\ ω\ L\)\/\(R + I\ ω\ L\)], 
			If[lk == 22, \ 
            Z\_2 = N[\(R*1\/\(I\ ω\ c\)\)\/\(R + 1\/\(I\ ω\ c\)\)], "ilyen_lehetoseg_nincs"]]]]\)\(\ \)\)\)

aaa = {{N[R + I*ω*L], 
            N[R + (1/(I*ω *c))]}, {N[((R*I ω L)/(R + I ω L))], 
            N[((R*(1/(I ω c)))/(R + (1/(I ω c))))]}};

aaa[[1, 2]]

A távvezeték azon pontját számítjuk ki, ahol az időfüggvényt kell meghatározni: z [m]

z

Mivel a távvezeték ideális, ezért a terjedési együttható valós része 0, azaz nincs csillapítás. Így meghatározzuk γ [1/m]

(Subscript[R, 1]) = R1;
α = 0; 
β = N[((2  π f)/v)];
γ = α + I β

A lezárásnál a reflexiós tényező:

r = (((Subscript[Z, 2]) - (Subscript[Z, 0]))/((Subscript[Z, 2]) + (Subscript[Z, 0])))

A bemeneti impedancia értékét az elméleti összefoglalóban található összefüggés alapján számítjuk: (Subscript[Z, b]) [Ω]

(Subscript[Z, b]) = (Subscript[Z, 0]) (((Subscript[Z, 2]) Cosh[γ l] + (Subscript[Z, 0]) Sinh[γ l])/((Subscript[Z, 2]) Sinh[γ l] + (Subscript[Z, 0]) Cosh[γ l]))

Meghatározzuk a keresett időfüggvényeket. Ha véletlenül rossz kódot adtunk meg a bemeneti kapcsokhoz csatlakozó kétpólusról, akkor azt a program jelzi.

\(If[be == 0, \ 
      U\_1 = \(U\&^\) Z\_b\/\(Z\_b + R\_1\), 
	
      If[be == 1, 
        U\_1 = \(I\&^\) \(Z\_b\ R\_1\)\/\(Z\_b + R\_1\), 
"ilyen_lehetoseg_nincs"]]\)

\(\((1 - be)\) \(U\&^\) Z\_b\/\(Z\_b + R\_1\) + 
      be\ \(I\&^\) \(Z\_b\ R\_1\)\/\(Z\_b + R\_1\)\)

\(\(\(
\)\(U\_2 = 
      N[U\_1\/\(Cosh[γ\ l] + \(Z\_0\/Z\_2\) Sinh[γ\ l]\)]; 
    I\_2 = U\_2\/Z\_2;

    \(U\_2\^+\) = 
      U\_2\/\(1 + r\); \(I\_2\^+\) = \(U\_2\^+\)\/Z\_2;

    \(U\_2\^-\) = 
      r\ \ \(U\_2\^+\); \(I\_2\^-\) = \(U\_2\^-\)\/Z\_2;

    u = \ \(U\_2\^+\)\ E\^\(γ \((l - z)\)\) + \ \(U\_2\^-\)\ E\^\(\(-γ\) \((l - z)\)\); 
    i = \ \(I\_2\^+\)\ E\^\(γ \((l - z)\)\) + \ \(I\_2\^-\)\ E\^\(\(-γ\) \((l - z)\)\);

    TableForm[{{"U [V]", "I [A]"}, 
{U\_2, 
          I\_2}, 
{\(U\_2\^+\), \(I\_2\^+\)}, 
{\(U\_2\^-\), \(I\_2\^-\)}, 
{u, 
          i}, 
{Abs[u], 
          Abs[i]}, 
{Arg[u] 180\/π, 
          Arg[i] 180\/π}}, 
TableHeadings\  -> \ {{" ", \ \*""(Subscript[U, 2]),(Subscript[I, 2])"", \*""\!\(\(U\_2\^+\)\),\!\(\(I\_2\^+\)\)"", \*""\!\(\(U\_2\^-\)\),\!\(\(I\_2\^-\)\)"", "U(z),I(z)", \ "Abs", \ "szog [°]"}, \ 
          None}, 
TableAlignments -> \ 
        Center]\)\)\)

Az időfüggvény pedig z pontban: 
u(t)\(TraditionalForm\`\( | \_z\)\)=Abs[U]*cos(ωt+szög[U]) V; vagy
i(t)\(TraditionalForm\`\( | \_z\)\)=Abs[I]*cos(ωt+szög[I]) A

c.) 2.2. feladat megoldása

Az elméleti összefoglalóban leírt összefüggések alapján meghatározzuk a feladat által kért teljesítményeket.

(Subscript[I, 1]) = ((Subscript[U, 1])/(Subscript[Z, b]));  
    (Subscript[S, 1]) = (1/2) (Subscript[U, 1]) Conjugate[(Subscript[I, 1])];   (Subscript[S, 2]) = (1/2) 
        (Subscript[U, 2]) Conjugate[(Subscript[I, 2])];
\(TableForm[{{"P [W]", "Q [VAR]"}, 
{Re[S\_1], 
          Im[S\_1]}, 
{Re[S\_2], 
          Im[S\_2]}}, 
TableHeadings\  -> \ {{" ", \ \*""(Subscript[P, 1]),(Subscript[Q, 1])"", \*""(Subscript[P, 2]),(Subscript[Q, 2])""}, \ 
          None}, 
TableAlignments -> \ 
        Center]\)

d.) 2.3. feladat megoldása

Az állóhullámarány:

σ = ((1 + Abs[r])/(1 - Abs[r]))

4. A 3. feladat megoldása.

a.) Elméleti áttekintés.

A feladatban megváltoztatjuk a forrásmennyiség időfüggvényeit. Itt már a 2. feladattal ellentétben nem szinuszos táplálás van, hanem jel-ugrásokból álló időfüggvények. A generátor áram- vagy feszültség időfüggvénye két vagy három ugrásból áll, ezek hatását külön vizsgáljuk. A generátor egyes ugrásai a távvezeték elején feszültség- és áramugrásokat eredményeznek, melyek következtében a távvezetéken feszültség- és áramhullámok indulnak meg a vezeték vége felé; ott reflexiót szenvednek, és visszafelé terjednek, majd a generátor oldali vezetékvégnél ismét
reflexió lép fel. A forrásjelben lévő ugrások független hullámjelenségeket eredményeznek, melyek összegeként megkapható a vezetéken jelenlévő tényleges feszültség- és árameloszlás.

Az első jel-ugrás t = 0 időpillanatban lép fel, és a jel (Subscript[F, (Subscript[s, 1])])-re változik (F jelenthet U-t vagy I-t azaz feszültséget vagy áramot). Ennek eredményeképpen a távvezeték elején \(F\_\(\_1\)\) lép fel, és ezzel az amplitúdóval elindul egy hullám a lezárás felé, amely zl*τ (zl a z/l viszonyt jelöli) időpillanatban halad át a vezeték z távolságú pontján, tehát a jel innentől kezdve a vizsgált pontban \(F\_\(\_1\)\). Ez az állapot e pontban mindaddig fennáll, amíg a lezárás oldali vezetékvégről visszaverődött hullám újra el nem éri a vizsgált pontot. Belátható, hogy ez (2-zl)*τ időpontban következik be. A visszavert hullám amplitúdója a vezeték végénél fellépő reflexió következtében csökken (Subscript[r, 2]) (Subscript[F, 1]) értékre (ahol (Subscript[r, 2]) a vezeték végénél fellépő reflexiós tényező), amely hozzáadódik a vezetéken már megjelent jelhez. A következő változás akkor áll be a vizsgált jelben, amikor a generátor oldali vezetékvégről újra visszaverődő hullám áthalad a vizsgált ponton. Ez (2+zl)*τ időpontban következik be. A vezeték elejéről visszaverődött hullám amplitúdója (Subscript[r, 2])(Subscript[r, 1]) (Subscript[F, 1]) (ahol (Subscript[r, 1]) a vezeték elején fellépő reflexiós tényező), amely hozzáadódik a vezetéken már jelenlévő jelhez. A vizsgált pontban a következő jelváltozás már azon az intervallumon kívül esik, ahol a feladatkiírás szerint vizsgálni kell. 
A fentivel teljesen azonos gondolatmenettel vizsgáljuk a generátor második és (3. ábra esetén) a harmadik. jel-ugrásának hatását. Ez az ugrás a t = T = to időpillanatban következik be, és a generátor feszültsége vagy árama (Subscript[F, (Subscript[s, 2])])-vel változik. Ennek eredményeképpen a távvezeték elején \(F\_\(\_2\)\) lép fel.
A két (vagy három) hullám egymástól függetlenül fejti ki a hatását, ezért a vizsgált pontban a jel időfüggvényét egyszerűen megkaphatjuk, ha az előbb kiszámolt hatásokat összegezzük.

Ha a generátor feszültség időfüggvénye van megadva, és z pontban a feszültség időfüggvényt kell meghatározni, akkor a távvezeték elején fellépő \(U\_\(\_i\)\) feszültség:
\(U\_\(\_i\) = \(U\_\(s\_i\)\) Z\_0\/\(R\_1 + Z\_0\)\)
Ha a generátor feszültség időfüggvénye van megadva, és z pontban az áram időfüggvényt kell meghatározni, akkor a távvezeték elején fellépő \(I\_\(\_i\)\) áram:
(Subscript[I, i]) = (Subscript[U, (Subscript[s, i])]) (1/((Subscript[R, 1]) + (Subscript[Z, 0])))
Ha a generátor áram időfüggvénye van megadva, és z pontban a feszültség időfüggvényt kell meghatározni, akkor a távvezeték elején fellépő \(U\_\(\_i\)\) feszültség:
\(U\_\(\_i\) = \(I\_\(s\_i\)\) \(\(R\_1\) Z\_0\)\/\(R\_1 + Z\_0\)\)
Ha a generátor áram időfüggvénye van megadva, és z pontban az áram időfüggvényt kell meghatározni, akkor a távvezeték elején fellépő \(I\_\(\_i\)\) áram:
(Subscript[I, i]) = (Subscript[I, (Subscript[s, i])]) ((Subscript[R, 1])/((Subscript[R, 1]) + (Subscript[Z, 0])))

b.) 3.1. feladat megoldása.

A feladatban felhasznált paraméterek:

z = 0.6*l;  (Subscript[R, 1]) = 45;
zl = z/l;

A program a felhasználó számára lehetővé teszi, hogy a feladatbat által leírt feszültség, vagy áram időfüggvényeket határozza meg, és rajzoltassa ki. 

\(Ha\ a\ meghatározni\ kívánt\ \(időfüggvény : 
feszültség\ időfüggvény\) -> idofuggveny = 0\)
	 \(áram\ időfüggvény -> idofuggveny\  = 1\)
 Kérem válasszon!

idofuggveny = 0;

Ki lehet választani a forrásmennyiség időfüggvényét:

idofv1[t_] := 
        2*UnitStep [t] - 
          2*UnitStep [t - 1];
idofv2[t_] := 
        UnitStep [t] + UnitStep [t - 1];
idofv3[
          t_] := 2*UnitStep [t] - 4*UnitStep [t - 1] + 
          2*UnitStep [t - 2];
idofv4[
          t_] := -UnitStep [t] + 
          2*UnitStep [t - 1];
\(Plot[{idofv1[t], idofv2[t], idofv3[t], 
          idofv4[t]}, {t, \(-0.5\), 2.5}, 
AxesStyle -> \ 
          Thickness[
            0.02], 
PlotStyle -> {{Hue[0.1]}, {Hue[
                0.5]}, Hue[0.7], 
            Hue[0.9]}, 
PlotLabel -> 
          StyleForm["     Időfüggvények", 
            FontSize -> 
              12], 
AxesLabel\  -> \ {"t", \*""(Subscript[u, s])[kV] (Subscript[i, s])[A]""}]\)

Mivel elég nehéz kiigazodni ezen az ábrán, ezért a program külön is kirajzolja az idő függvényeket:

idofv = {idofv1[t], idofv2[t], idofv3[t], idofv4[t]}; 
For[j = 1,j < 5,
\(Plot[{idofv[\([j]\)]}, {t, \(-0.5\), 
              3}, 
AxesStyle -> \ 
              Thickness[
                0.02], 
PlotStyle -> {Hue[
                  0.99]}, 
PlotLabel -> 
              StyleForm[j, 
                FontSize -> 
                  14], 
AxesLabel\  -> \ {"t", \*""(Subscript[u, s])[kV] (Subscript[i, s])[A]""}]\);
j++]

Kérem válassza ki a feltiek közül a feladatkiírásban szereplő ábrát:

abra = 3;

τ [s] azt az időt jelöli, ami alatt a jel egyszer végigfut a vezetélken. Meghatározása:

τ = N[(l/v)]

A vezeték elején fellépő reflexiós tényező:

(Subscript[r, 1]) = (((Subscript[R, 1]) - (Subscript[Z, 0]))/((Subscript[R, 1]) + (Subscript[Z, 0])))

A vezeték végén fellépő reflexiós tényező:

(Subscript[r, 2]) = ((R - (Subscript[Z, 0]))/(R + (Subscript[Z, 0])))

T [s] az az idő, amíg a forrásmennyiség állandó. Meghatározása:

T = 0.4  (l/v)

to [s] meghatározása:

to = (T/τ)

z [m] vezeték azon pontja, ahol az időfüggvényt szeretnénk meghatározni:

z

Az elméleti összefoglalóban leírt gondolatmenet alapján meghatározzuk a kívánt időfüggvényt:

\(\(\(If[abra == 1, \ F\_\(s\_1\) = 2; \ F\_\(s\_2\) = \(-2\); \ 
        F\_\(s\_3\) = 0, 
	
        If[abra == 2, \ F\_\(s\_1\) = 1; \ F\_\(s\_2\) = 1; \ 
          F\_\(s\_3\) = 0, \ 
		If[abra == 3, \ 
            F\_\(s\_1\) = 2; \ F\_\(s\_2\) = \(-4\); \ 
            F\_\(s\_3\) = 2, 
			If[abra == 4, \ 
              F\_\(s\_1\) = \(-1\); \ F\_\(s\_2\) = 2; 
              F\_\(s\_3\) = 
                0, 
"nincs ilyen lehetőség"]]]];\)\(
\)
    \)\)
\(\(\(If[be == 0\  && \ idofuggveny == 0, 
        F\_\(\_1\) = N[\(F\_\(s\_1\)\) Z\_0\/\(R\_1 + Z\_0\)]; \ 
        F\_\(\_2\) = N[\(F\_\(s\_2\)\) Z\_0\/\(R\_1 + Z\_0\)]; \ 
        F\_\(\_3\) = N[\(F\_\(s\_3\)\) Z\_0\/\(R\_1 + Z\_0\)]; 
        y = "u(t)[V]", 
If[
          be == 0\  && \ idofuggveny == 1, \ 
          F\_1 = N[\(F\_\(s\_1\)\) 1\/\(R\_1 + Z\_0\)]; 
          F\_2 = N[\(F\_\(s\_2\)\) 1\/\(R\_1 + Z\_0\)]; 
          F\_3 = N[\(F\_\(s\_2\)\) 1\/\(R\_1 + Z\_0\)]; 
          y = "i(t)[A]", 
If[
            be == 1\  && \ idofuggveny == 0, 
            F\_1 = N[\(F\_\(s\_1\)\) \(\(R\_1\) Z\_0\)\/\(R\_1 + Z\_0\)]; 
            F\_2 = N[\(F\_\(s\_2\)\) \(\(R\_1\) Z\_0\)\/\(R\_1 + Z\_0\)]; 
            F\_3 = N[\(F\_\(s\_3\)\) \(\(R\_1\) Z\_0\)\/\(R\_1 + Z\_0\)]; 
            y = "u(t)[V]", 
If[
              be == 1\  && \ idofuggveny == 1, 
              F\_1 = N[\(F\_\(s\_1\)\) R\_1\/\(R\_1 + Z\_0\)]; 
              F\_2 = N[\(F\_\(s\_2\)\) R\_1\/\(R\_1 + Z\_0\)]; 
              F\_3 = N[\(F\_\(s\_3\)\) R\_1\/\(R\_1 + Z\_0\)]; 
              y = "i(t)[A]"]\ ]\ ]];\)\(
\)
    \)\)
fv[t_] := (Subscript[F, 1]) UnitStep [t - zl] + 
        (Subscript[r, 2]) (Subscript[F, 1]) UnitStep [t - (2 - zl)] + (Subscript[r, 2]) 
          (Subscript[r, 1]) (Subscript[F, 1]) UnitStep [
            t - (2 + zl)] + 
(Subscript[F, 2]) 
          UnitStep [t - (zl + to)] + 
        (Subscript[r, 2]) (Subscript[F, 2]) UnitStep [t - (2 - zl + to)] + (Subscript[r, 2]) 
          (Subscript[r, 1]) (Subscript[F, 2]) UnitStep [
            t - (2 + zl + to)] + 
(Subscript[F, 3]) 
          UnitStep [t - (zl + 2 to)] + 
        (Subscript[r, 2]) (Subscript[F, 3]) UnitStep [t - (2 - zl + 2 to)] + (Subscript[r, 2]) 
          (Subscript[r, 1]) (Subscript[F, 3]) UnitStep [
            t - (2 + zl + 2 to)] 

    
Plot[fv[t], {t, 0, 4}, 
      AxesStyle ->  
        Thickness[0.003], 
AxesLabel  ->  {"t", y} , 
      PlotStyle -> {{Hue[0.99]}}]

Ha a feszültség időfüggvényt akartuk meghatározni, akkor u(t)\(TraditionalForm\`\( | \_z\)\) [V] látható,
ha az áram időfüggvényt akartuk meghatározni, akkor i(t)\(TraditionalForm\`\( | \_z\)\) [A] látható:

fv[t]

5. Összefoglalás

Az Elektromágnases terek házi feladatait megoldó program nagy mértékben leegyszerűsíti az egyébként bonyolult számítások alapján elvégzett munkát. Az elméleti összefoglalók pedig megvilágítják az adott feladat fizikai hátterét, magyarázzák az elvégzett számítások módját.

Felhasznált irodalom:
Fodor György: Elektromágneses terek, Budapest, Műegyetemi Kiadó, 1998.
Fodor György: Hálózatok és rendszerek analízise, Budapest Műegyetemi Kiadó, 1995.