Bevezetés

A szabályozástechnika a műszaki tudományok azon ága,amely különféle folyamatok irányítási feladatainak szabályozással történő megoldását, ezek  elméleti és gyakorlati témaköreit tartalmazza. A szabályozás működési mechanizmusának  leírási formája a rendszer hatásvázlata, mely:
  -matematikai modell leírása
  -jel és határterjedési viszonyok kifejezése
  -belső  struktúrák megjelenítése

Igen fontos a fizikai feladatból, egy fizikai modell megalkotása, mellyet matematikai modellekkel le tudunk írni. Ezek többynire igen bonyolult differenciál egyenletek, melyek megoldása manuális módszerekkel igen nehéz, egyes esetekben lehetlen feladat. Éppen ezért számítógéppel igyekszünk megoldani a feladatokat. Azonban a számítógép nem helyettesíti a számolások terén jártas mérnököt. Nekünk kell eldönteni, hogy a kapott végeredmény megfelel-e a valóságnak, vagy valahol valami hibát vétettünk  a modell alkotás során.

A szabályozástechnikai rendszereket 5 alapvető rendszerjellemző függvény írja le: Differenciál egyenlet, átviteli függvény (W(s)), súlyfüggvény (w(t)), átmeneti függvény (v(t)), frekvencia függvény (W(jw)). A rendszerjellemző függvények ismeretében, a tag y(t) kimenőjel válasza tetszőleges u(t) bemenő jel esetére is meghatározható.

Elmélet

A rendszerjellemző függvények közötti kapcsolat:
  
  y(s)=W(s)*u(s)

  y(t)=(∫_0^t) u(τ)*w(
            t - τ) \[DifferentialD]τ
  
  y(t)=u(0)*v(t)+(∫_0^t)(( du(t))/dt)*v(
            t - τ) \[DifferentialD]τ
  
  y(jw) = W(jw)*u(jw)
  
   Bármelyik rendszerjellemző függvény ismeretében, bármely másik rendszerjellemző függvény előállítható. Vizsgáljuk meg részletesebben ezeket a függvényeket.
   
   Differenciál egyenlet
   
   Általános alakja:
   
   \(TraditionalForm\`x\& . \) = \(TraditionalForm\`\(A\+ = \)\)x + \(TraditionalForm\`B\+_\)u 
   y = \(TraditionalForm\`\(C\+ = \)\)x + \(TraditionalForm\`D\+_\)u
   
   Az alapmátrix az A mátrix, mely sajátértékei meghatározzák a rendszer stabilitását. Egy rendszer asszimptotikusan stabilis, ha az A alapmátrix sajátértékeinek valós része 0.
   
   A differenciál egyenlet általános megoldása:
   
   x(t)=(E^At)*x(0) + (∫_0^t) (E^(A(
                t - τ))) Bu(τ) \[DifferentialD]τ
   
   y(t)= C*x(t) +  D*u(t)
   
   Vagy Laplace transzformálva:
   
    x(s) = (((sI - A))^(-1))[x(0)+Bu(s)]
    
    y(s) = C*x(s) + D*u(s)
    
    Átmeneti függvény:
    
      A lineáris tag egységugrásra adott  y(t) = v(t) válasza, zérus kezdeti feltételek mellett.
    
    
    Súlyfüggvény: 
    
     A lineáris tag Dirac impulzusra adott  y(t) = w(t) válasza, zérus kezdeti feltételek mellett.
    
    Meghatározása a differenciál egyenletből:

w(t) = (C^T)*(E^At)(∫_(-0)^t) (E^(-At)) Bδ(t) \[DifferentialD]τ+Dδ(t)

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSUK

1. Feladat

Egy lineáris rendszer állapotegyenlete és paramétermátrixai a következők:

\(TraditionalForm\`x\& . \) = \(TraditionalForm\`\(A\+ = \)\)x + \(TraditionalForm\`B\+_\)u
y = \(TraditionalForm\`\(C\+ = \)\)x + \(TraditionalForm\`D\+_\)u

ahol is 
A = (({{-1, -2, -3}, {4, -5, 6}, {7, 8, -9}}))  B = (({{10, 11}, {12, 13}, {14, 15}}))  C = (({{16, 17, 18}, {19, 20, 21}}))  D= (({{22, 23}, {24, 25}}))

a.) Számítsuk ki az A állapotmátrix pi sajátértékeit!

b.) A rendszer u = (({{1 (t)}, {1 (t)}})) állandó gerjesztésre olyan x(t) és y(t) időfüggvényekkel válaszol, melynek végértékei x(∞)=xveg és y(∞)=yveg. Mekkorák ezek a végértékek?

	
	
Megoldás

a.)
 Sajátértékek meghatározása:

A  =  {{-1, -2, -3}, {4, -5, 6}, {7, 
          8, -9}}
N[Eigenvalues[A]]

Mivel minden sajátérték valós része negatív, a rendszer stabilis

b.)  A stabilitásból következik, hogy az állandó u bemenőjelre létezik x-nek és y-nak állandosult értéke. Ezek meghatározása:

A = (({{-1, -2, -3}, {4, -5, 6}, {7, 8, -9}}));
B = (({{10, 11}, {12, 13}, {14, 15}}));
c = (({{16, 17, 18}, {19, 20, 21}}));
d=(({{22, 23}, {24, 25}}));

u = {{1}, {1}};
xv =  -Inverse[A] . B . 
          u
yv = -(-c . Inverse[A] . 
                  B + d) . u

\(2. \ Feladat

      Adott\ az\ alábbi\ \(függvény : 
            y \((x)\)\) = \(20  tg \((π\/6 - 4  arctg\ \((x)\) - 5  x)\)\)\/\(100 \( x\^2\) \(\@\(1 + \(tg\^2\) \((π\/6 - 4  arctg \((x)\) - 5  x)\)\)\) \((1 + x\^2)\)\) - 1

      a . \ A\ 0.01 < x < 
          0.1\ intervallumban\ adjuk\ meg\ az\ y = \(\(f\) \((x)\)\(\ \)\(függvény\)\(\ \)\(grafikonját\)\(
\)\)\)

Megoldás

x = 
        Table[i, {i, 0.01, 0.1, 
            0.001}];

Plot[((20*Tan[(π/6) - ArcTan[x] - 5  x])/(100  (x^2) (Sqrt[1 + (((Tan[(π/6) - ArcTan[x] - 5  x]))^2)]) (1 + (x^2)))) - 1, {x, 0, 
        0.1}]

3.  Feladat

Egy arányos szabályozás nyitott körének adott eredő átviteli függvénye (k>0, T>0). A k körerősítés mekkora értékénél van a zárt rendszer a stabiliás határhelyzetében?

Megoldás

Átviteli függvény :  (Subscript[W, 0]) = (k/(((1 + sT))^4))

Az ArcTan (W (j(Subscript[ω, c]))) =  -π
és az  Abs (W (j(Subscript[ω, c])))  =  1 feltételekből : 

4 (ArcTan ((Subscript[ω, c])) T) = π ezt átrendezve,  
    kapjuk : (Subscript[ω, c]) T = Tan[π/4]

Tan[π/4]

Tehát (Subscript[ω, c]) T  =  1

Második egyenletet átrendezve :  
          k  =  (Sqrt[(((1 + ((((Sqrt[1])))^2)))^4)])

(Sqrt[(((1 + ((((Sqrt[1])))^2)))^4)])

Tehát k  =  4.

4. Feladat

A folyamat (Subscript[W, p])(s) és a szabályozó (Subscript[W, c])(s) átviteli függvényei az alábbi kifejezéssel defiináltak:

(Subscript[W, c]) (s) = (Subscript[k, c]) ((1 + sT)/(1 + sαT))
(Subscript[W, p (s)]) = ((Subscript[k, p])/(((1 + sT))^3))

Az α tényező mekkora értéke biztosítja, hogy a 0 -típusú szabályozás k=(Subscript[k, c])=(Subscript[k, p])=100 körerősítés-, és φ((Subscript[ω, c]))=60° fázistöbblet mellett üzemeljen?

Megoldás

Az sT=s* normalizálás mellett a nyitott kör eredő átviteli függvénye alapján kapható összefüggések (normalizálás után visszatérve az s*=s jelölésre):

(Subscript[W, 0])(s)=(Subscript[W, c])(s)(Subscript[W, s])(s)=(k/((1 + sαT) (((1 + sT))^2)))=(k/((1 + αs) (((1 + s))^2)))

π+ArcTan((Subscript[W, 0])(j(Subscript[ω, c])))=π-ArcTan(α(Subscript[ω, c]))-2ArcTan((Subscript[ω, c]))=(Subscript[φ, t])((Subscript[ω, c]))(π/3)

Abs((Subscript[W, 0])(j(Subscript[ω, c])))=(k/((Sqrt[1 + (((α(Subscript[ω, c])))^2)]) (1 + ((Subscript[ω, c])^2))))=1
Innen:

ArcTan(α(Subscript[ω, c]))=π-(Subscript[φ, t])-2ArcTan((Subscript[ω, c]))

(Sqrt[1 - (((α(Subscript[ω, c])))^2)])(1-(ω^2))=k

A kifejezéseket az α változóra rendezve:

α=((Tan(π-(Subscript[φ, t])-2ArcTan((Subscript[ω, c]))))/((Subscript[ω, c])))=(Subscript[f, 1])

α=(((Sqrt[(k/(1 + ((Subscript[ω, c])^2)))]) - 1)/((Subscript[ω, c])))=(Subscript[f, 2])

Ezekből azt az ω értéket keressük, amelynél (Subscript[f, 1])(ω)=(Subscript[f, 2])(w)=α

k = 100;
ft = π/3;

Plot[{Tan[π - ft - 2.  ArcTan[w]]/
          w, ((((Sqrt[((((k/((1 + w^2)))))^2) - 1])))/w)}, {w, 0.2, 
        0.5}]

A feladat szempontjából, nekünk most egy durva közelítés is elég (A valóságban nem tudunk egy precíz értéket beállítani). A grafikonról leolvasva a két függvény metszéspontját ω=0.275.

Így α értéke közelítőleg (Subscript[f, 2]) értékéből kifejezve:

((Sqrt[((((100/(1 + (((0.275))^2)))))^2) - 1])/0.275)

Tehát α = 
      338 közelítőleg.

Összefoglalás

A fenti példákból is látszik, hogy a szabályozástechnika alapfeladatait egyszerűen és elegánsan meg lehet oldani a Mathematica segítségével. Bonyolultabb feladatokra is általánosíthatók a fenti eljárások, mellyekre helyhiány miatt, most nem tértünk ki.

Felhasznált irodalom:

1. Szabályozástechnikai ellenőrző feladatok
2. Lantos: Szabályozás Technikai Gyakorlatok (1-5)
3. Dr. Tuschák Róbert: Szabályozástechnika