Tolerancia-intervallum egyszerű véletlen minta, valamint egy véletlen faktoros 
ANOVA modell esetén

Toleranciahatár és -intervallum

Eloszlás alsó/felső (β,γ) - toleranciahatára:  
egy olyan L / U valószínűségi változó, melynél a sokaság legalább β hányada γ valószínűséggel nagyobb/kisebb, azaz

\(TraditionalForm\`ℙ\_L\ [ℙ\_X[L ≤ X] ≥ β] = γ\)  /  \(TraditionalForm\`ℙ\_U[ℙ\_X[X ≤ U] ≥ β] = γ\)

(β - terjedelem, γ - konfidencia-szint, L / U - véletlen mintából nyert statisztika).

Eloszlás (β,γ) - tolerancia-intervalluma:
egy olyan (L,U) valószínűségi változó pár, melyre a sokaság legalább β hányada γ valószínűséggel az [L,U] intervallumba esik, azaz

\(TraditionalForm\`ℙ\_\(L, U\)[ℙ\_X[
              L ≤ X ≤ 
                U] ≥ β] = γ\).

Mérnöki alkalmazási területük:   
ipari minőségellenőrzés, műszaki fejlesztés, ... (pl. gyógyszerkészítmények hatóanyag-tartalmának vizsgálata)

Normális eloszlás ismert paraméterekkel

𝒩(μ,(σ^2)) ismert eloszlás ⟶ γ = 1

Alsó toleranciahatár:	L = μ – k σ

A feladat a k toleranciafaktor meghatározása.
k:  (Subscript[ℙ, X]) [μ - 
              k σ ≤ X]=β   ⟶  k = (Subscript[z, β])	
((Subscript[z, β]): 𝒩(0,1) β-adrendű kvantilise)
L = μ – (Subscript[z, β]) σ

Felső toleranciahatár:	U = μ + (Subscript[z, β]) σ

Tolerancia-intervallum:     [L, U]=[μ -k σ,μ+k σ]

k:  (Subscript[ℙ, X])[μ - k σ≤X≤μ+k σ]=β  ⟶  k = (Subscript[z, ((1 + β)/2)])

Normális eloszlás ismeretlen paraméterekkel - Egyszerű véletlen minta

n elemű egyszerű véletlen minta:	(Subscript[X, 1]), (Subscript[X, 2]), ..., (Subscript[X, n]),  (Subscript[X, i]) ∼ 𝒩(μ,(σ^2)), függetlenek


A mintából származó statisztikák:	• \(TraditionalForm\`X\&_\) (mintaátlag),  \(X\&_\)∼𝒩(μ,((σ^2)/n))

• (s^2) (korrigált empirikus szórásnégyzet),  (s^2)∼\(TraditionalForm\`\(σ\^2\) \(\(χ\^2\)(n - 1)\)\/\(n - 1\)\)

Toleranciahatár egyszerű véletlen minta esetén

Alsó (/felső) toleranciahatár:	\(TraditionalForm\`L = X\&_\  - k\ s\)	(\(TraditionalForm\`U = X\&_ + k\ s\))

\(ℙ\_\(X\&_, \ s\)\)[(Subscript[ℙ, X])[\(X\&_\) – k s≤X]≥β]=γ
					
\(ℙ\_\(X\&_, \ s\)\)[ϕ(-((\(X\&_\) – k s-μ)/σ))≥β]=γ 
  ϕ(t): standard normális eloszlásfüggvény
					
\(TraditionalForm\`ℙ\_\(X\&_, \ s\)[\(X\&_ - k\ s - μ\)\/σ ≤ \(-z\_β\)] = γ\) 
					
\(ℙ\_\(X\&_, \ s\)\)[(Underscript[\(\(\(\(\(X\&_ - μ\)\/σ\) \@\(\(n\)\(\ \)\) + \ \(z\_β\) \@n\)\/\(s\/σ\)\)\+⏟\), ∼T(n - 1, (Subscript[z, β]) (Sqrt[n ]))])≤k (Sqrt[ n])]=γ 
T(f, δ):  f szabadsági fokú, δ paraméterű nemcentrális t-eloszlás
(Subscript[T, q])(f,δ): az eloszlás q-adrendű kvantilise
					
⟶ \(TraditionalForm\`k = \(\(T\_γ\)(n - 1, \ \(z\_β\) \@n)\)\/\@n\),    \(TraditionalForm\`L = 
        X\&_ - \(\(\(T\_γ\)(n - 1, \ \(z\_β\) \@n)\)\/\@n\) s\)
			  \(TraditionalForm\`\((U = 
          X\&_ + \(\(\(T\_γ\)(n - 1, \ \(z\_β\) \@n)\)\/\@n\) 
              s)\)\)

Tolerancia-intervallum egyszerű véletlen minta esetén (1)

Tolerancia-intervallum:	[L, U] =[\(X\&_ - k\ s\),\(TraditionalForm\`X\&_ + k\ s\)]

\(ℙ\_\(X\&_, \ s\)\)[(Subscript[ℙ, X])[\(X\&_\) – k s≤X≤\(X\&_\)+ k s]≥β]=γ	
				
\(ℙ\_\(X\&_, \ s\)\)[(∫_( \(\(X\&_ - μ\)\/σ - \(k\ s\)\/σ\))^( \(\(X\&_ - μ\)\/σ + \(k\ s\)\/σ\)))  φ(t) dt≥β]=γ
   φ(t): standard normális sűrűségfüggvény
					
β=(∫_( \(\(X\&_ - μ\)\/σ - ?\))^( \(\(X\&_ - μ\)\/σ + ?\)))  φ(t) dt

→ G(r, x, β):=\(TraditionalForm\`∫\_\(x - r\)\%\(x + r\)\(φ(t)\) dt - β\)
→ R legyen G(r) gyöke:  G[R(x, β), x, β]=(∫_(x-R(x,β))^(x+R(x,β))) φ(t) dt-β = 0

\(ℙ\_\(X\&_, \ s\)\)[(∫_( \(\(X\&_ - μ\)\/σ - \(k\ s\)\/σ\))^( \(\(X\&_ - μ\)\/σ + \(k\ s\)\/σ\)))  φ(t) dt≥(∫_( \(\(X\&_ - μ\)\/σ - 
                        R\ \((\(X\&_ - μ\)\/σ, \ β\ )\)\))^( \(\(X\&_ - μ\)\/σ - 
                        R\ \((\(X\&_ - μ\)\/σ, \ β\ )\)\)))  φ(t) dt]=γ
				
\(TraditionalForm\`ℙ\_\(X\&_, \ s\)[\(k\^2\) 
              s\^2\/σ\^2 ≥ \(R\^2\)(\(X\&_ - μ\)\/σ, \ β\ )] = γ\)

Tolerancia-intervallum egyszerű véletlen minta esetén (2)

\(TraditionalForm\`ℙ\_\(X\&_, \ s\)[
          s\^2\/σ\^2 ≥ \(\(R\^2\)(\(X\&_ - μ\)\/σ, \ β\ )\)\/k\^2] = γ\)
				
    \(\(X\&_ - μ\)\/σ\)∼𝒩(0,(1/n)) alapján:				
(∫_(-∞)^∞)(Subscript[ℙ, s])[((s^2)/(σ^2))≥(((R^2)(
                                x,  β ))/(k^2))](Sqrt[(n/(2  π))])\(e\^\(-\(\(n\ x\^2\)\/2\)\)\)dx=γ
    (((s^2))/((σ^2)))∼(((χ^2)(ν))/ν)  (ν = n-1) alapján:
\(TraditionalForm\`ℙ\_s[
                  s\^2\/σ\^2 ≥ \(\(R\^2\)(x, \ β\ )\)\/k\^2]\)=\(∫\_\(\(ν\ \(\(R\^2\)(x, β)\)\)\/k\^2\)\%∞\(\( t\^\(ν\/2 - 1\)\ \ e\^\(-\(t\/2\)\)\)\/\(\(Γ(ν\/2)\)\ \ 2\^\(ν\/2\)\)\) dt\)
				
    F(x,h,ν, β):=\(∫\_\(\(ν\ \(\(R\^2\)(x, β)\)\)\/h\^2\)\%∞\(\( t\^\(ν\/2 - 1\)\ \ e\^\(-\(t\/2\)\)\)\/\(\(Γ(ν\/2)\)\ \ 2\^\(ν\/2\)\)\) dt\) szerint:
(Sqrt[(n/(2  π))])(∫_(-∞)^∞) F(x,k,ν, β)  (e^(-((n (x^2))/2)))\(dx\)=γ
				
    C(h,n,ν, β,γ):= (Sqrt[(n/(2  π))])(∫_(-∞)^∞) F(x,h,ν, β)  (e^(-((n (x^2))/2)))dx - γ
C(h, n, ν,  β, γ) = 0 ⟶ 
k: C(h, n, ν,  β, γ)  h szerinti gyöke

Toleranciafaktor numerikus meghatározása Mathematica-val

A szükséges függvények definiálása:

<< Statistics`NormalDistribution`

    
f[t_] := PDF[NormalDistribution[0, 1], t]
G[r_, 
        x_, β_] := (∫_(x - r)^(x + r))f[
              t] \[DifferentialD]t - β
R[x_, β_] := 
      r /. FindRoot[
          G[r, x, β] == 0, {r, Abs[x]}]

    
eofv[n_, z_] := 
      CDF[ChiSquareDistribution[n], z]
F[x_, h_, ν_, β_] := 
      1 - eofv[ν, ((ν R[x, β]^2 )/(h^2))]
CC[h_, 
        n_, ν_, β_, γ_] := 2 NIntegrate[
            F[(T/(Sqrt[n])), h, ν, β] f[T], {T, 0, 
              Infinity}]-γ 
kp[n_, β_, γ_] := 
      Quantile[NormalDistribution[0, 1], ((1 + β)/2)] 
        Sqrt[((n - 1)/
              Quantile[ChiSquareDistribution[n - 1], 1 - γ])] (1 + 
            (1/(2  n)))

tfaktor[n_, ν_, β_, γ_] := 
      h /. FindRoot[
          CC[h, n, ν, β, γ] == 0, {h, 
            kp[n, β, γ]}]

Tolerancia-intervallum kiszámítása szimulált mintából

Eloszlás: 𝒩(30,4) 
Minta elemszáma: 16, szabadsági fok: 15,  konfidencia-szint: 0.95,  terjedelem: 0.99.

SeedRandom[302]
elo = NormalDistribution[30, 2];
minta = RandomArray[elo, 16]

\({X\&_ = Mean[minta], s = StandardDeviation[minta]}\)

k = tfaktor[16, 15, 0.99, 0.95]

CC[k, 16, 15, 0.99, 0.95]

\(L = X\&_ - k\ s; \ U = X\&_ + k\ s; {L, U}\)

Clear[L, U]

A konfidencia-szint ellenőrzése szimulációval

\(p(X\&_, s)\)=(Subscript[ℙ, X]) [\(X\&_\) – k s≤X≤\(X\&_\)+ k s]=ψ(\(X\&_\) + k s)-ψ(\(X\&_\) - k s)
    (ψ: X eloszlásfüggvénye)	
  A szimulált konfidencia-szint a \(p(X\&_, s)\)≥β esemény relatív gyakorisága.

L[m_List] := 
      Mean[m] - k StandardDeviation[m]
U[m_List] := 
      Mean[m] + k StandardDeviation[m]

    
Count[
Table[
minta = 
            RandomArray[elo, 16]; 
          CDF[elo, U[minta]] - 
            CDF[elo, 
              L[minta]], 
{100000}], 
_?(# ≥ 0.99 &)]/
      100000.

Clear[k, L, U, minta, elo, s]

A 100.000 mintából szimulált konfidencia-szint:	0.95078.
(Más paraméterek esetén is hasonló eredményt kapunk.)

Egy véletlen faktor szerinti ANOVA modell

Több csoportból álló minta:	(Subscript[X, ij])=μ+(Subscript[a, i])+(Subscript[e, ij]),   i=1,...,I;j=1,...,J,

μϵ ℝ,  
 (Subscript[a, i]) ∼ 𝒩(
          0, (Subscript[σ, a]^2)),  
 (Subscript[e, ij])∼𝒩(0, (Subscript[σ, e]^2)),  (kölcsönösen függetlenek)
 ⟶ (Subscript[X, ij])∼\(𝒩(μ, σ\_a\%2 + σ\_e\%2)\)

A mintából származó statisztikák:

• teljes mintaátlag:		\(TraditionalForm\`X\&_ = ∑\+\(i = 1\)\%I∑\+\(j = 1\)\%J\)((Subscript[X, ij])/IJ)
• i-edik csoportátlag:		\(TraditionalForm\`X\&_\_i = ∑\+\(j = 1\)\%J\)((Subscript[X, ij])/IJ)
• csoportok közötti empirikus szórásnégyzet:	(Subscript[s, A]^2) = J (∑_(i = 1)^I)\(TraditionalForm\`\((X\&_\_i - X\&_)\)\^2\/\(I - 1\)\)      ((Subscript[s, A]^2)∼((Subscript[Jσ, a]^2)+(Subscript[σ, e]^2))(((χ^2)(I - 1))/(I - 1)))
• csoportokon belüli empirikus szórásnégyzet:	(Subscript[s, R]^2)=(∑_(i = 1)^I)(∑_(j = 1)^J)(((((Subscript[X, ij])-\(X\&_\_i\)))^2)/(I(J - 1)))    ((Subscript[s, R]^2)∼(Subscript[σ, e]^2)(((χ^2)(I(J - 1)))/(I(J - 1))))

Az 𝒩(μ,(Subscript[σ, a]^2)) eloszlás tolerancia-intervalluma (1)

(Subscript[σ, a]^2) torzítatlan becslése:   (s^2)=(((Subscript[s, A]^2) - (Subscript[s, R]^2))/J)

[L, U] =[\(X\&_ - k\ s\),\(TraditionalForm\`X\&_ + k\ s\)]
	k = ?
	(s^2)∼(Subscript[σ, a]^2)(((χ^2)(ν))/ν) esetén ⟶ egyszerű mintánál ismertetett módszer

Probléma:	(s^2)≁(Subscript[σ, a]^2)(((χ^2)(ν))/ν)
		(s^2)∼(Subscript[σ, 1]^2)(((χ^2)((Subscript[ν, 1])))/(Subscript[ν, 1]))-(Subscript[σ, 2]^2)(((χ^2)((Subscript[ν, 2])))/(Subscript[ν, 2]))
		( (Subscript[σ, 1]^2)=(Subscript[σ, a]^2)+(((Subscript[σ, e]^2))/J),  (Subscript[ν, 1]) = I - 1,  (Subscript[σ, 2]^2)=(((Subscript[σ, e]^2))/J),  (Subscript[ν, 2]) = I(J - 1))

Megoldás:	Satterthwaite-közelítés:
		   (Subscript[s, 1]^2)∼(Subscript[σ, 1]^2)(((χ^2)((Subscript[ν, 1])))/(Subscript[ν, 1])),  (Subscript[s, 2]^2)∼(Subscript[σ, 2]^2)(((χ^2)((Subscript[ν, 2])))/(Subscript[ν, 2])), függetlenek
		   (s^2)=(Subscript[λ, 1]) (Subscript[s, 1]^2) - (Subscript[λ, 2]) (Subscript[s, 2]^2) ∼ (σ^2)(((χ^2)(ν))/ν) közelítőleg
		   → (σ^2)=(Subscript[λ, 1])(Subscript[σ, 1]^2)-(Subscript[λ, 2])(Subscript[σ, 2]^2),  ν=((((\(\(λ\_1\) σ\_1\%2 - \(λ\_2\) σ\_2\%2\)))^2)/(\(\((\(λ\_1\) σ\_1\%2)\)\^2\/ν\_1 + \((\(λ\_2\) σ\_2\%2)\)\^2\/ν\_2\)))

Az 𝒩(μ,(Subscript[σ, a]^2)) eloszlás tolerancia-intervalluma (2)

(s^2) eloszlásának Satterthwaite-közelítése:

	(s^2)∼(Subscript[σ, a]^2)(((χ^2)(ν))/ν),   ν=((((\(\(J\ σ\_a\%2 + σ\_e\%2\)\/J - σ\_e\%2\/J\)))^2)/(\(\((J\ σ\_a\%2 + σ\_e\%2)\)\^2\/\(\(J\^2\)(I - 1)\) + σ\_e\%4\/\(\(J\^2\) \(I(J - 1)\)\)\)))=(((Subscript[σ, a]^4))/(\(\((J\ σ\_a\%2 + σ\_e\%2)\)\^2\/\(\(J\^2\)(I - 1)\) + σ\_e\%4\/\(\(J\^2\) \(I(J - 1)\)\)\)))
	
   Ez alapján a toleranciafaktor közelítése:

		k:  C(h, n, ν,  β, γ)  h szerinti gyöke, ahol

\(TraditionalForm\`n = \(\(σ\_a\%2\/\(Var(X\&_)\)\)\(=\)\)\)(((Subscript[σ, a]^2))/(((Subscript[σ, a]^2)/I)+(((Subscript[σ, e]^2))/IJ))) az effektív mintaméret (egyszerű mintánál (((σ^2))/((σ^2)/n))=n),  
ν=(((Subscript[σ, a]^4))/(\(\((J\ σ\_a\%2 + σ\_e\%2)\)\^2\/\(\(J\^2\)(I - 1)\) + σ\_e\%4\/\(\(J\^2\) \(I(J - 1)\)\)\))).

ha n és ν ismeretlenek ⟶ a mintából becsülendők  (→ \(TraditionalForm\`\(k\&^\)\)  becslés)   
ha a \(σ\_e\%2\/σ\_a\%2\) varianciahányados ismert ⟶ n és ν is ismert

Az 𝒩(μ,(Subscript[σ, a]^2)) eloszlás tolerancia-intervallumának kiszámítása szimulált mintából (1)

A modell paraméterei: μ=50,  (Subscript[σ, a]^2) = 9,  (Subscript[σ, e]^2) = 4,  I=4,  J=13
A keresett tolerancia-intervallum: 𝒩(50,9), β  = 0.99, γ =0.95

μ = 50; σe = 2; σa = 3; II = 4; 
    J = 13; β = 0.99; γ = 0.95;
dist = NormalDistribution[μ, σa];

Minta generálása:

SeedRandom[10]
elist = 
        RandomArray[
          NormalDistribution[0, σe], {II, 
            J}];
alist = 
        RandomArray[NormalDistribution[0, σa], 
          II];
minta = 
        Table[μ + alist[[i]] + elist[[i, j]], {i, 1, II}, {j, 1, 
            J}];
Transpose[minta] // TableForm

Az 𝒩(μ,(Subscript[σ, a]^2)) eloszlás tolerancia-intervallumának kiszámítása szimulált mintából (2)

A statisztikák kiszámítása:

{atlag = Mean[Flatten[minta]], 
      csatlag = Table[Mean[minta[[i]]], {i, 1, II}]}

{sR2 = (∑_(i = 1)^II)(∑_(j = 1)^J)((((minta[[i, j]] - csatlag[[i]]))^2)/(II (J - 1))), 
      sA2 = J (∑_(i = 1)^II)((((csatlag[[i]] - atlag))^2)/(II - 1))}

s = (Sqrt[((sA2 - sR2)/J)])

Az 𝒩(μ,(Subscript[σ, a]^2)) eloszlás tolerancia-intervallumának kiszámítása szimulált mintából (3)

A toleranciafaktor kiszámítása (n és ν ismert):

{ν = (( σ(a^4))/(((((J σ(a^2) + σ(e^2)))^2)/((J^2) (II - 1))) + σ((e^4)/((J^2) II (J - 1))))), 
        n = σ((a^2)/(σ((a^2)/II) + σ((e^2)/(II J))))} // 
      N

k = tfaktor[n, ν, β, γ]

CC[k, n, ν, β, γ]

{L = atlag - k*s, U = atlag + k*s}

Clear[L, U, minta]

Az 𝒩(μ,(Subscript[σ, a]^2)) eloszlás tolerancia-intervallumának kiszámítása szimulált mintából (4)

A toleranciafaktor becslése (n és ν ismeretlen):

{νb = ((((((sA2 - sR2)/J)))^2)/(((sA2^2)/((J^2) (II - 1))) + ((sR2^2)/((J^2) II (J - 1))))), 
      nb = ((((sA2 - sR2)/J))/(((((sA2 - sR2)/J))/II) + (sR2/(II J))))}

kb = tfaktor[nb, νb, β, γ]

CC[kb, nb, νb, β, γ]

{k, kb}

{Lb = atlag - kb*s, Ub = atlag + kb*s}

Clear[s, sA2, sR2]

A konfidencia-szint ellenőrzése szimulációval (1)

\(p(X\&_, s)\)=(Subscript[ℙ, X]) [\(X\&_\) – k s≤X≤\(X\&_\)+ k s]=ψ(\(X\&_\) + k s)-ψ(\(X\&_\) - k s)
	
Konfidencia-szint szimulálása: \(p(X\&_, s)\)≥β esemény relatív gyakoriságával

sA2[m_List] := 
      J (∑_(i = 1)^II)((((Mean[m[[i]]] - Mean[Flatten[m]]))^2)/(II - 1))
sR2[
        m_List] := (∑_(i = 1)^II)(∑_(j = 1)^J)((((m[[i, j]] - Mean[m[[i]]]))^2)/(II (J - 1)))
s[m_List] := Sqrt[((sA2[m] - sR2[m])/J)]
L[m_List] := Mean[Flatten[m]] - k*s[m]
U[m_List] := Mean[Flatten[m]] + k*s[m]

A konfidencia-szint ellenőrzése szimulációval (2)

A konfidenciaszint szimulálása:

Table[
minta = 
        With[
{elist = 
              RandomArray[
                NormalDistribution[0, σe], {II, 
                  J}], 
alist = 
              RandomArray[NormalDistribution[0, σa], 
                II]}, 
Table[μ + alist[[i]] + 
              elist[[i, j]], {i, 1, II}, {j, 1, 
              J}]]; 
CDF[dist, U[minta]] - 
        CDF[dist, L[minta]], 
{50}]

Probléma:	(Subscript[s, A]^2)-(Subscript[s, R]^2) pozitív valószínűséggel vesz fel negatív értéket

(Subscript[s, A]^2) - (Subscript[s, R]^2) negativitásának valószínűsége

(Subscript[ℙ,  (Subscript[s, A]^2), (Subscript[s, R]^2)]) [(Subscript[s, A]^2) - (Subscript[s, R]^2) < 0]=\(\(∫∫\)\+{\((x, y)\) : \ x < y}\)(Subscript[f, A])(x) (Subscript[f, R])(
                  y) dx dy , ahol (Subscript[f, A])(x) (Subscript[s, A]^2), (Subscript[f, R])(y) pedig (Subscript[s, R]^2) sűrűségfüggvénye.

(Subscript[f, A])(x) és (Subscript[f, R])(y) definiálása:

cA[σe_, σa_, II_, 
        J_] := ((J σ(a^2) + σ(e^2))/(II - 1))
fA[x_, σe_, σa_, II_, 
        J_] := (1/cA)[σe, σa, II, J] 
        PDF[ChiSquareDistribution[II - 1], 
          (x/cA)[σe, σa, II, J]]
cR[σe_, II_, 
        J_] := σ((e^2)/(II (J - 1)))
fR[y_, σe_, II_, J_] := (1/cR)[σe, II, J] 
        PDF[ChiSquareDistribution[II (J - 1)], 
          (y/cR)[σe, II, J]]

A valószínűség numerikus meghatározása:

Pr[σe_, σa_, II_, 
        J_] := (∫_0^∞)(∫_0^∞) fA[
                x, σe, σa, II, J] fR[y, σe, II, J] 
              Boole[x < y] \[DifferentialD]x \[DifferentialD]y // 
        N
negvsz = Pr[σe, σa, II, J]

(Subscript[ℙ,  (Subscript[s, A]^2), (Subscript[s, R]^2)]) [(Subscript[s, A]^2) - (Subscript[s, R]^2) < 0]=0.00817388

A konfidencia-szint ellenőrzése szimulációval (3)

\(p(X\&_, s)\)≥0.99 relatív gyakorisága:

Count[
Table[
minta = 
            With[
{el = 
                  RandomArray[
                    NormalDistribution[0, σe], {II, 
                      J}], 
al = 
                  RandomArray[NormalDistribution[0, σa], 
                    II]}, 
Table[μ + al[[i]] + 
                  el[[i, j]], {i, 1, II}, {j, 1, J}]];   CDF[dist, 
              U[minta]] - 
            CDF[dist, 
              L[minta]], 
{100000}], 
_?(# ≥ 0.99 &)]/100000.

A valószínűségek becslései: 
1. \(p(X\&_, s)\)≥0.99,	2. \(p(X\&_, s)\)<0.99, 	3. \(TraditionalForm\`p(X\&_, s)\) nem értelmezhető ((s^2) < 0)

{0.94054`, 1 - (0.94054`  + negvsz), negvsz}

p≥0.99 és p<0.99 feltételes valószínűsége ((s^2) > 0):

\({0.94054`\/\(1 - negvsz\)\ , \(1 - \((0.94054`\  + negvsz)\)\)\/\(1 - negvsz\)}\)

(Subscript[σ, a]^2) Tukey–Williams-féle felső konfidenciahatára

Wang és Iyer javaslata:

(s^2) helyett ⟶ (Subscript[σ, a]^2)  1-η szintű Tukey–Williams-féle felső konfidenciahatára:

(((Subscript[s, A]^2)-(Subscript[s, R]^2) (Subscript[F, η : (Subscript[n, 1]), (Subscript[n, 2])]))/(Subscript[JF, η : (Subscript[n, 1]), ∞])), ahol (Subscript[F, η : (Subscript[n, 1]), (Subscript[n, 2])]) F((Subscript[n, 1]), (Subscript[n, 2])) eloszlás η kvantilise
 (Subscript[n, 1]) = I - 1, (Subscript[n, 2]) = I(J - 1), η = ((1 - γ)/3).

Probléma: 	(Subscript[ℙ,  (Subscript[s, A]^2), (Subscript[s, R]^2)]) [(Subscript[s, A]^2) - (Subscript[s, R]^2) (Subscript[F, η : (Subscript[n, 1]), (Subscript[n, 2])]) < 0]≠0

(Subscript[s, A]^2) - (Subscript[s, R]^2) (Subscript[F, η : (Subscript[n, 1]), (Subscript[n, 2])]) < 
        0  ⟺  \(TraditionalForm\`\(H\_0\) : σ\_a\%2 = 
        0\ \ vs . \ \ \(\(H\_a\) : \(\(σ\_a\%2\)\(>\)\(0\)\(\ \)\)\)\) hipotézisvizsgálat során (Subscript[H, 0])-t η szinten elfogadjuk

Megoldás:	(Subscript[s, A]^2) - (Subscript[s, R]^2) (Subscript[F, η : (Subscript[n, 1]), (Subscript[n, 2])]) < 
        0 esetén ⟶ γ szintű konfidencia-intervallum μ-re